IMG(00

i KwuT.y 7* <f SM - ćwiczenia

ćwiczeu i a'X1 ::Twi er.d żeni^gHflniczii ey csS^nSfon (^Jm? tekście może wystąpić K różnych symboli generowanych niezależnie od siebie ze

względnymi częstościami rti.....n*-- Jakich liczb wystąpień poszczególnych symboli możemy, w

myśl prawa wielkich liczb, spodziewać się w tekście długości A^?=10^s symboli? Nazwijmy takie teksty typwyriir. oblicz stosunek prawdopodobieństw wygenerowania tekstu typowego i nietypowego (tj. o dowolnym innym układzie liczb wystąpień Np\,...Npi:)- W obliczeniach

przyjmij ni.....tt/; dane w poniższej tabeli częstości w zględnych występowania /C^m27 symboli

(26 liter + spacja) w jęz angielskim, zaś jakowi..../;/; przyjmij te same częstości z wyjątkiem spacji. 1912,1: 590 i M: 130.

svrnbol	częstość xl 0?	swmbol	częstość x!0^4	svmbol	częstość. klO^4
spacja	1859	1	575	R	484
A	642	i	8	S	514
B	127	K	49	T	796
C	218	L	321	U	228
0	317	M	198	V	83
1	1031	N	574	W	175
F	20S	0	632	X	13
G	IS2	P	152	Y	164
II	467	Q	8	Z	5

Ogólnie, prawdopodobieństwo układu .V^i,...A-;<j,-dane jest przez rozkład wielomianowy - przypomnij sobie Ćwicz. II, zad. -II) i Ćwicz X. zad. 5. Zastosuj/omnily Slirlln^n: n|-V2nn n‘csp(-n). nariępnic wyrażenia lypu a h c-... przekształcaj w c.\p(liVł+ln/iT|iitT...). wreszcie wszystkie wyrażenia nic zależące od ni ani /u zgrupuj w jedną stalą. Teraz wylicz interesujący nas stosunek prawdopodobieństw tekstu wjHwwgo i nietypowego jako cxp{-..). n przekonasz się. zc mimo A'°27 nic naliczysz się za dużo. Sl.oiiicuiuj niesamowity wynik, jaki otrzymałeś.

W pumzszych zadaniach X: pewna cecha populacji/badunego zjawiska, X|.....X„: niezależne

obserwacje lej cechy (próba prosta z populacji). Z“/IX|„ ...X„): pewna statystyka z próby, w szczególności estymator A parametru o rozkładu p.\.

2 Zbadaj asymptotyczne własności estymatorów (przy //-*«*). ajj 1- ^łI,.i ,XJn oraz G^! =E, i„,,(Xr E )’hi.

Oblicz średnic i wariancje lycli csiymaiorów.

(fi). A =min(Xi X„| i B=max{X| X„| dla X o rozkładzie równomiernym w przedziale

h>, w którym nie znamy ti i h.

Z Ćwicz. VI zad. lii) wiemy, zc K. (*•) = 1 -[1 - F_x(.v)|*, gdzie l\(v)"(i-n)/(/j-//). ntxih\ siąd odpowiednia gęstość, średnia i wariancja A. Dla D wykorzystuj Ćwicz. VI zad. Ib).

■/■ Kiniorski: UL d -J - ćwiczenia

^^Wiadomo. że średni odsetek wadliwości w produkowanych elementach wynosi iy"0.05. Do zbadania wybrano partię «i^a 10* elementów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odsetek wadliwości w wybranej partii (tj. estymator Q wartości r/) będzie różnił się od .7 o więcej mz e=0.01? Zastosuj 11 nierówność Czebyslewa. przybliżenie normalne 1 przybliżenie Poissona

P{Q=kln) wyraża się rozkładem dwumianowym z parametrami n i ij. gdzie 1*0... .ji. Dla takiego rozkładu wartość średnia... dyspersja... ilnierówitość Czebyszcwa... Według centralnego iw. granicznego¹ (wariant Moivrc'a-Laplaccfal. Q ma dląidużych 11 rozkład Ntij.JJiTJfTń). a według przybliżenia Poissona, ma dla duzycli n i małych q rozkład (nf/)*c*p(-nq)/ti - stąd interesujące nas prawdopodobieństwo. Które z tych 2 ostatnich przybliżeA jest Icpszc7 Graniczna wartość nq. powyżej której lepsze jest przybliżenie normalnę,|wynosi w przybliżeniu dla n*10: 5. n“50: 6.!«, n“IOO: 10. u-200: I4.n-300: IH,nZ400:20.

x u-(*.....■^X">"^n,a V

4. Jako estymator największej wiarygodności przyjmuje się A ■ r»°: p

_[żie    są wartościami obserwacji! Znajdź estymatory największej' wiarygodności

parametrów rozkładu X przy n obserwa :jach, gdy wnfl

a) p.\(x)*ⁱaexp(-ax)₁ x>0, n>0

y    Problem sprowadza się do wypisania im resującej nas gęstości rozkładu warunkowego 1 znalezienia jej

_maksimum jako funkcji I bądź 2 zmieni ych •••Sprawdź że takie podejście odpowiada przyjęciu w tw

Ql Bayesa. że wszystkie hipotezy są i priori jednakowo prawdopodobne • por. Ćwicz X. zad 5.

lymacja przedziałowa nieznanego | arametru a rozkładu X polega na tym. że mając

__fY ^lzw- poziom ufności 8 (zwykle 8 =90%. 95%. 99% itp.) oraz statystykę Z. określamy

dla każdej możliwej wartości a rozkładj.warunkowy . a stąd wartości ti i c* lakie. ze

l*(f^,<21^c^,,lo)=8 (zwykle po obu stronach SZ|o, np. symetrycznie). Oczywiście i^md(a,b) i c*«f"(o_t8). Niech wartość Z wyliczonajz zaobserwowanej próby wynosi r*y(ii... ,v») Wówczas h-proientowym przedziałem ufności dla parametru o nazywamy przedział |u: d(a,S) tj (0.8)} - jest 10 więc pricuzial. laóry z prawdopodobieństwem 6 obejmuje prawdziwą wartość u Zakładając, żc Xl|na rozkład N(£.0), znajdź 95-procentc*wy przedział ufności dla parametru u przy pomocy dsutyclt statystyk:

a) o jest znane. tr*G, Z= E jak w zad. 2a| (jak liczność próby wpływa na przedział ufności?).

Tutaj “jNt/i.a/n¹") (dla dużego 11 jest tak dla duwolncgo ro/kladn X. im mocy I łesi 10 ro/klad symetryczny, względem swej śrulmcj. /iilcm t' i r* można przyjąć lYmcinc/mc |«* obu jej stronach wyraź jc przy ponuo w.irtosci r. zdefintowtitiycll pt/zs. *l^,t; ,l*u '1*1 I • funkcja Lapiacc i Si.nł

I¹ ‘