KIF87

(A'"8) q-*(pvq)

(A'"9) (p-*r)-{(q-r)-*[(pv q)-r]}

(A'"lO) (p&q)-+(p-»q)

(A’"li) (p*q)-*(q-*p)

(A"'I2) (p-v)-» [(?-/’)-*(/>«?)]

(A'"I3) (~q-~~p)-*(p-q)

Udowodnij jako twierdzenia systemu o aksjomatach A |. •A"'I3 i regułach RP. RO:

(a)    PsP    (prawo tożsamości)

(b) (P^vq)~*(.qvp)    (prawo przemiennoici    alternatywy)

(c)    (pAq)-*(q Ap)    (prawo przemienności    koniunkcji)

33. Rachunek zdań można zbudować metodą odmicnn< zarówno od matrycowej, jak i od aksjomatycznej, mianowicie -w postaci systemu założeniowego. Metoda ta polega na dowodzeniu tautologii jako twierdzeń systemu opartego wyłączna na regułach (bez aksjomatów)._Punkt wyjścia dowodu w systemie założeniowym zależy od postaci twierdzenia d< i nhrang ypetody dowodu (mh. zadania 34-38), a dalszym jego przebiegiem rządzą stosownie dobrane reguły, na przykład — następujący zestaw:

(RO) Reguła odrywania: jeśli do dowodu należy implikacja i jej poprzednik, to wolno dołączyć do dowodu następnik tej implikacji.

(DK) Reguła dołączania koniunkcji: do dowodu wolno dołączyć koniunkcję, o ile obydwa jej człony należą do dowodu.

(OK) Reguła opuszczania koniunkcji: jeśli do dowodu należy konitmkcja, to wolno dołączyć do dowodu dowolny człon tej koniunkcji.    *

(DA) Reguła dołączania alternatywy: do dowodu wolno dołączyć alternatywę, o ile któryś z jej członów należy do dowodu.

(OA) Reguła opuszczania alternatywy: jeśli do dowodu należy alternatywa i negacja jednego z jej członów, to wolno dołączyć do dowodu drugi człon tej alternatywy.

(DR) Reguła dołączania równoważności: do dowodu wolno dołączyć równoważność, o ile należy już do dowodu zarówno implikacja, której poprzednikiem jest pierwszy człon tej równoważności a następnikiem — drugi jej człon, jak i implikacja odwrotna.

(OR) Reguła opuszczania równoważności: jeśli do dowodu należy równoważność, to wolno dołączyć do dowodu zarówno implikację, której poprzednikiem jest pierwszy człon tej równoważności a następnikiem — drugi jej człon, jak i implikację odwrotną.

Wyjaśnij, dlaczego operacje, o których mowa w każdej t tych reguł, nic prowadzą nigdy od tautologii do schematów nictautologicznych.

34. Budując założeniowy dowód wprost twierdzenia o postaci If,[Wy*...-(TT/- 1D D. wypisujemy najpierw założenia (supozycje) W_x, .... W„, potem zaś wyrażenia, na dołączenie których pozwalają przyjęte reguły; wolno też dołączać do Hnyffldu twierdzenia wczcśnici udowodnione, Dowód jest zakończony, ydy wystąpi w nim wyrażcnie^H'. Na przykład, założeniowy dowód wprost prawa sylogizmu hipotetycznego —    —s———————

(p->q)-[(q~*r)-(p-r)]

w systemie opartym na regułach RO, DK, OK, DA, OA. DR. OR, jest ciągiem wyrażeń:

(O P-+<ł (2) q-*r

(3 )P

(4) 9

(5) r

(założenie)

(założenie)

(założenie)

(RO: I, 3) (RO: 2. 4)

29