KIF97

„większa od 0" itp.), zaś litera R w kontekście R(x, y) — nazwę relacji dwuczłonowej („większa od", „podziclna przez" itp.). Nadto, do języka rachunku kwantyfifcatorów należą również wszystkie symbole rachunku zdań.

W języku rachunku kwantyfikatorów można formułować schematy zdaniowe oddające strukturę wewnętrzną zdań prostych. Na przykład, napis: /\ xP(x), który czytamy: „dla każdego x: P od .v", jest schematem dowolnego zdania, głoszącego, że każdy przedmiot posiada taką a taką własność; na przykład — zdania ..Wszystko jest poznawalne”. Z kolei, napis: V xP(x), który czytamy: „istnieje x tafcie, że /’ od x", jest schematem dowolnego zdania głoszącego, że pewien (co najmniej jeden) przedmiot posiada taką a taką własność: na przykład, zdania „Istnieje coś, co zostało poznane”.

(A)    Podaj przykłady predykatów jedno-, dwu- i trójargu-mentowych występujących w języku potocznym.

(B)    Podaj przykłady zdań zbudowanych wedle następujących schematów:

(a)    /\xP(x)-ĄxQ(x)

(b) V*P(*)A V*<Xx)

(c)

(d) V4A*)Afi(*)]

(jeżeli dla każdego x: P od x, to dla każdego x: Q od x) (istnieje takie .r, że P od x, i istnieje takie x, że Q od x) (dla każdego x: jeżeli P od x, to g od z)

(istnieje takie z, że P od x i Q od x)

59. Podaj przykłady zdań zbudowanych wedle następujących schematów (zob. wskazówka do zadania 58):

(a)    ~ A xP(x)    (nieprawda, że dla każdego    x:    P    od    x)

(b)    A x~P(x)    (dla każdego x: nieprawda,    że    P    od    i)

(c)    ~V*C*>    (nieprawda, że dla pewnego    x:    P    od    x)

(d)    \J x~P{x)    (dla pewnego x: nieprawda,    że    P    od    *)

60.    Zbuduj kwantyflkatorowc schematy następujących zdań:

(a)    Niektórzy matematycy są muzykalni.

(b)    Niektórzy matematycy nic są muzykalni.

(c)    Wszyscy matematycy są muzykalni.

(d)    Żaden matematyk nic jest muzykalny.

(e)    Tylko matematycy są muzykalni.

(0 Nic tylko matematycy są muzykalni.

61.    Wyrażenia:

(a)    /\ x /\yR(x, y) (dla każdego x, d'a każdego y: R od

x.y)

(b) V * V yR(^x> y)    (dla pewnego x istnieje takie y, że

Aodz, >•)

(c)    A x\/yR(x,y) (dla każdego x istnieje takie y, że

R o<\ x,y)

(d)    V ■* A yR(^x‘ >') (istnieje takie x, że dla każdego y:

R od x,y)

są kolejno schematami dowolnych zdań, które głoszą, że (a) każde dwa przedmioty (rozważanego rodzaju) pozostają do siebie w takim a takim stosunku (np. „Wszystko (ze wszystkim) jest powiązano”), (b) istnieją przedmioty pozostające do siebie w takim a takim stosunku (np. „Istnieje coś, co ma (jakąś) przyczynę"), (c) każdy przedmiot pozostaje w takim a takim stosunku do pewnego przedmiotu (np. „Wszystko ma (jakąś) przyczynę”), (d) istnieje przedmiot, który pozostaje w taki ma takim stosunku do każdego przedmiotu (np. „Istnieje coś, co jest przyczyną wszystkiego”).

Znajdź dalsze przykłady zdań zbudowanych wedle schematów (a), (b), (c), (d).

62. Zapisz za pomocą kwantyfikatorów. spójników zdaniowych oraz predykatów — i < podane niżej twierdzenia arytmetyki (przyjmując, że zmienne x, y, z przebiegają zbiór liczb naturalnych).

(a)    Każda liczba jest równa sobie samej.

(b)    Żadna liczba nic jest mniejsza od samej siebie.

4 — Ćwiczeni, i lo«iki 49