KIF14

Zbiór mający dokładnie jeden element (np. zbiór parzystych liczb pierwszych) nazywamy zbiorem Jednostkowym. Zbiór me mający żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem 0.

Elementami zbiorów mogą być również, zbiory. n.i przykład, jeśli A jest dowolnym zbiorem, lo wyrażenie {A} symbolizuje zbiór jednostkowy, którego elementem jest zbiór A Oczywiście:

A*{A), lecz A /{.<), bowiem ogólnie: a*{a)

(A)    Wykaż, że zbiór pusty jest tylko jeden.

(B)    Rozstrzygnij, którym spośród symboli e, i należy zastąpić wielokropek w każdym z podanych niżej przykładów.

(a)    A. Malrauit... zbiór francuskich pisarzy XX w

(b) Ay Malraux ... zbiór francuskich ministrów XX ».

(c) A. Malraux ... zbiór francuskich gabinetów rządowych w XX tv.

(d)    Stronnictwo de Gaulle'a ... zbiór stronnictw politycznych we Francji w XX w.

(e)    Stronnictwo dc Gauilc‘a ... zbiór Francuzów.

105. Które z podanych niżej implikacji są prawdziwe dla dowolnych zbiorów A, B. C.

(a)    {A^BaB^C)-*A eC ¹    '

(b) (AcBAB=C)~AeC A

(c)    {A=BaBcC)—A e C A

(d)    /

(e)    (A4BaBoC)-A4C (0 [AeBAB4Q-A4C

(g)    (A4BaB~C)->A4C

(h)    (/t€j8Afi*C)-.y4*C

(i)    (A*BaB*C)-+A+C

(j)    (A*BaB*C)->A-C

106. Wśród podanych niżej zbiorów A. B, C. P. £ wskaż:

(a)    zbiór o najmniejszej liczbie elementów,

(b)    zbiór o największej liczbie elementów,

(c)    zbiory identyczne.

(d)    zbiory mające dokładnie jeden element wspólny,

(e)    zbiory nie mające Żadnego elementu wspólnego.

A = {I. 2. 3, 4. 5}

* = {2,0. 4}, {3. 5,6}}

C = {0. 2. 3. 4. 5}}

/> = {3. {2}, {{5}}j £-=({3-1}. 3. {{3 + 2})}

107*. Jeżeli każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B, to mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (A jest podzbiorem B, A pozostaje w stosunku inkluzji do B). Stosunek inkluzji oznaczamy symbolem c. Tak więc:

A c Ąx|*€ A-+xs.B).

Na przykład, zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych.

(a)    Sformułuj za pomocą pojęcia inkluzji wystarczający i konieczny warunek równości dwóch zbiorów.

(b)    Wykaż, że zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze.

108. Które z podanych niżej implikacji są prawdziwe dla dowolnych zbiorów A. B. C.

(a)    (A e BaB c: C)—A c C

(b)    (Ae BaB c C)-*A € C

(c)    (A e B aB eC)-»A eC

(d)    (A e BaB=C)-A=C

(c) (A c BaB = C)-*AcC

te

83