KIF22

dowolne zbiory A, B, C spełniające pierwsze dwa z łych warunków nic spełniają trzeciego z nich.

Sprawdź na wykresach Venna niesprzeczność układów ralo żeń podanych w zadaniu 131.

139. Powołując się na zasadę ekstensjonalności i wykorzystując definicje działań na zbiorach i stosunków między zbiorami można budować formalne dowody praw (twierdzeń) rachunku zbiorów, tj. takich wyrażeń języka tego rachunku, które stają się zdaniami prawdziwymi przy każdym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne A, B, C,... Na przykład, chcąc dowieść, że równość:

(A-B)uB- A\jB

jest prawem rachunku zbiorów, dowodzimy równoważności: xe (A —B)vB c x e A\jB.

Dowód jest ciągiem wyrażeń, z których pierwsze jest jednym z członów dowodzonej równoważności, każde następne jest równoważne wyrażeniu poprzedzającemu je w tym ciągu tu mocy odpowiedniej definicji lub tautologii rachunku zdań. zaś wyrażenie ostatnie jest drugim członem dowodzonej równoważności:

(1)    xe (A-B)kjB

(2)    x*(A-B)vxeB

(3)    (x e A a * i B) v x e B

(4)    x € Av x c B

(5)    X e AuB

(Przejście od (3) do (4) jest uprawnione na mocy definicji: xi A^~xeA. oraz tautologii: (0>a ~i?)vg]=pvq). Udowodnij następujące twierdzenie rachunku zbiorów:

(a) A<-iB=BliA    (prano przemiennoid sumy)

(b) AnB~BnA    (prawo przemiennoid iloczynu)

(c) i4u(AoC)"(i4uj)uC (prawo łączności sumy)

(d) A<^(BriO~(Ar\B)r\C (prawo łączności iloczynu)

(c) A<~ĄBuC)’* Ar\B\jAr\C (prawo rozdzielności iloczynu względem sumy)

(f) AvBnCr=(AvB)r\(AvC) (prawo rozdzielności sumy względem iloczynu)

140.    Wśród podanych niżej równości wskaż i udowodnij te, które są twierdzeniami rachunku zbiorów; dla pozostałych podaj kontrprzykłady.

(a)    A~AnB=A~B

(b)    (AuB) B=A

(c)    (AuB)-B=A-B

(d)    AuAnB-A

(e)    Ali(AdB)- Ali B

(f)    A-B-B-A

(g)    A-(A-B)=AnB

(h)    Acs(B-C)=Ar\B~AnC

(i)    Au(B~C)=(AdB)-(AuC)

(j)    A-(B-C)~(A-B)-C

141.    Dla każdego z podanych niżej wyrażeń sformułuj i udowodnij twierdzenie mające postać równości, której jedną stroną jest to wyrażenie.

>