Pochodna funkcji (2)

2

1.2. Działania arytmetyczne na pochodnych

Jeśli funkcje/i g mają pochodne /' oraz g', to:

(1) . (f+gy=f+g'

(2) . (f-g)' = f'-g'

(3) . {a- /)' -a- /' dla dowolnej liczby a

(5).

ax

^f£ g,

(4). (f-gy=f-g+f-g' f-g-f-g

(g)²

(6).

chc    ag cbc

Pochodna logarytmu naturalnego z funkcji^) określona jest wzorem

-fln/(x) = -j-/'(*).

/(*)

Stąd wynika wzór (7). /'(x) = /(x)—ln/(x)

dx

Wzór (7) ułatwia obliczenie pochodnej funkcji, która ma postać złożonego iloczynu lub złożonej funkcji potęgowej.

1.3. Zadania na obliczanie pochodnych

Zadanie 1. Obliczyć pochodną funkcji y(x) = x^lx² +1.

Rozwiązanie 1. Wzór określający funkcję y można przekształcić w następująco sposób: y(x) = xylx² +1 = Vx⁴ + x² = sjf(x), gdzie /(x) = x⁴ + x²

Funkcję pierwiastkową różniczkuje się zgodnie ze wzorem w Tabl. 1, wiersz 4 oraz wzorem (6) na różniczkowanie funkcji złożonej:

/tt)="(V7c*))=

i .₍tf₊2»)- ⁴f^+2J

#    2 V/W    2 Vx⁴ +x²

2x(2x² +1) _ 2x²+1 2xV x~ +1    +1

Rozwiązanie 2. Funkcję y można traktować jako iloczyn funkcji g(x) oraz ^h(x) : y(x) = xVx² +1 = g(x) • (jh(x)), gdzie g(x) = x oraz /z(x) = x² +1.

Różniczkowanie funkcji y wykonuje się zgodnie ze wzorem (4):

/O) =    + £<»    )■

dx