ScannedImage (3)

(ró)=

□

R

7. Jaką interpretację maja współczynnikami regresji w modelu liniowym względem zmiennych objaśniających?

Model ekonometryczny (empiryczny) to tak model:

Yi=P₁₌P_2x2j+P_3x3j+... +Pkxki⁺Ei

Warunkową wartość oczekiwana zmiennej yi

E-wartość oczekiwana

E(yi/Xki)= p-i+p2x2i⁺---⁺Pkxki+E9Ei)=0

Pod warunkiem E(Ei)=0 pochodne wartości

oczekiwanej po zmiennej

j3k- mierzymy oczekiwaną zmienną yi jako efekt zmiany Xki o jednąjednostkę przy pozostałych zmiennych bez zmian.

8 Jaką interpretację mają współczynnikami regresji w modelu podwójnie logarytmicznym.

Jeżeli model: Iny-p₂lnx2i+p3lnx3i+...pklnxki jeżeli x2i wzrośnie o 1 % to yi zmieni się (wzrośnie lub spadnie) o b₂ (złotówki zmienne są na parametry mamy elastyczność); Parametry interpretowane sąjako elastyczności Przykładowa interpretacja: wraz ze spadkiem (wzrostem) zmiennej X o jednostkę zmienna Y zmaleje (wzrośnie) o b%.

13 Proszę wyprowadzić wzory na współczynnik determinacji i skorygowany współczynnik determinacji oraz podać ich interpretację.

— 1

Żeby zinterpretować R² trzeba przemnożyć 100%. Zmienność yi została wyjaśniona przez zmienność zmiennych objaśniających w R²%. Ta dekompozycja jest prawdziwa jeśli w modelu występuje stała. Jeśli dodajemy do równania regresji kolejne zmienne objaśniające to R² rośnie, nawet jeśli dodamy zmienną bezsensowną

R²=1(1-R²)3

r²<r²

14.Proszę omówić zasady wprowadzania do równania regresji resorów 0-1.

1 .Zdefiniować zmiennąjakościową np 'wykształcenie: podstawowe, średnie, zawodowe. Załóżmy, że poziom bazowy to wykształcenie podstawowe (poziomu bazowego nie wprowadzamy do równania).

2. Pozostałe poziomy rozkodowujemy na: średnie -1 - jeżeli maja wykszt.- średnie

- 0 - w pozostałych przypadkach (podstawowe, wyższe)

Wyższe-1-dla wykszt. Wyższego

-0-dla średnie, podstawowego

3. zmienne rozkodowane wprowadzamy do równania regresji yi=Pi+p₂ średnie; +(3₃wyższe+p₄*wiek+£i

Interpretacja:

(3-1 zawiera efekt poziomu bazowego(wyksztł. Podstawowe)

p₂ średni dochód dla osób z wykształceniem średnim jest £ p₂ jest jednostek niższy średni dochód dla wykształcenia bazowego (podstawowego) przy pozostałych zmiennych na tym samym poziomie p₃ średni dochód dla osób z wykształceniem wyższym £ p₃ niż średni dochód dla osób z wykształceniem bazowym (podstawowym)

11.Na czym polega statystyczna istotność zmiennej objaśniającej?

Istotność poszczególnych zmiennych sprawdza się stawiając hipotezy: H₀:p_k=0 Hi=(3_k=0

Hipoteza zerowa mówi, że parametr pk objaśniającej Xki-0 czyli zmienna objaśniająca Xki jest zmienną nieistotną. Hipoteza 1 mówi, że parametr pk stojący przy zmiennej objaśniającej Xki jest różne od zera, jest zmienną istotną. Musimy obliczyć statystykę + — BK-fE.

testową t-studenta I——— —

• S>M. (&&}

bk - jest to estymator nieznanego parametru Pk

Pk - jest to nieznany parametr w modelu s.e(bk)-odchylenie standardowe estymatora Pk

Obliczają t studenta zakładamy prawidłowość hipotezy zerowej

j-—    M&'-—$    SM

$«££&$% S-SfSM} czyli statystyka to iloraz oszacowania dla parametru pk który, jest Bk i odchylenie Bk. Następnie wyznaczymy statystykę krytyczną z

tablic t 1 — §?! — .kici- poziom istotności prawdopodobieństwa popełnienia błędu pierwszego rodzaju stopnia swobody n-k n- liczebność próbki

k - liczba zmiennych objaśniających + stała Podjęcie decyzji: jeżeli statystyka testowa wpada do przedziału to przyjmujemy hipotezę o czyli zmienna badana Xki jest zmienna nieistotną jeżeli statystyka wpada poza ten przedział to uznajemy Xki za istotną.

12. Proszę zinterpretować wzór dekompozycyjny

zmienności całkowitej y na zmienność wyjaśnioną i niewyjaśnioną (reszta)?

Współczynnik determinacji R² dobrać dopasowania równania regresji do danych empirycznych wyrażona jest przez tzw współczynnik determinacji oznaczony przez R²=ESS/TSS = 1- RSS/TSS gdzie:

ESS zmienność wyjaśniona w modelu TSS całkowita zmienność w modelu (całkowita suma kwadratów)

RSS część niewyjaśniona w modelu. Współczynnik ten określa jaką część zmienności zmiennej objaśnionej y jest wyjaśniona łącznie przez zmienność wszystkich zm iennych objaśniających x2... xk zmienność całkowitą zmiennej objaśnianej y oznaczonąw literaturze angielskiej TSS, mierzymy ze pomocą sumy kwadratów odchyleń obserwacji zmiennej objaśnianej od średniej TSS=eⁿ(y1-y)². Jeżeli model zawiera stałą p1 to całkowita sumą kwadratów możemy zdekomponować na dwa składniki:

1. na wyjaśnioną (równanie regresji) sumę kwadratów, oznaczoną przez ESS. ESS=I"(y-y)²

ESS wyjaśniona suma kwadratów która jest równa sumie kwadratów różnic pomiędzy wartością dopasowaną a średnia.

2. reszte niewyjaśnioną sumę kwadratów oznaczoną RSS

RSS= Iⁿe²i    ____

9. Proszę sformułować twierdzenie Gaussa-Markowa i je zinterpretować.

Twierdzenie Gaussa-Markowa: wektor b jest liniowym, nieobciążonym i najlepszym estymatorem wektora parametrów b oraz jest podstawowym twierdzeniem o własnościach estymatorów wyznaczonych za pomocąMNK. Twierdzenie brzmi: W klasycznym modelu regresji liniowej najlepszym liniowym i nieobciążonym estymatorem wektora parametrów b jest b wyznaczone za pomocą MNK.-

1) ⁼ (X X) X y o macierzy

wariancji-kowariancji-

y... =cr²-(X'Xr^l

1 .Estymator b jest estymatorem liniowym,

gdyż jest liniowa funkcja zmiennej losowej y.

2.    b jest estymatorem nieobciążonym, to znaczy E(b).

3. Estymator b jest estymatorem najlepszym, co oznacza, że ma minimalna, macierz wariancji-kowariancji, wynosząca

__ikh ® '■    ' ■* Estymator

taki nazywamy estymatorem efektywnym.

10. Co to jest błąd standardowy estymatora? Proszę podać wzór dla przypadku regresji wielorakiej i go zinterpretować.

Standardowy błąd szacunku ( = standardowy błąd estymatora) parametru pi standardowy błąd bi równy jest jego odchyleniu standardowemu (czyli pierwiastkowi z jego wariancji). Standardowy błąd szacunku parametru pi mówi o ile jednostek wartość bi różni sie od nieznanej wielkości parametru pi.

~ i® ^ckk ~ °

15. Co to jest współliniowość? Jakie SA symptomy, metody wykrywania i jak można przezwyciężyć środki zaradcze?

Współliniowość jest to dokładna lub bardzo wysoka korelacja pomiędzy wartościami zmiennych objaśniających. Współliniowość dzielimy na:

a) dokładna -błąd badacza

b) niedokładna - wysoka korelacja między zmiennymi objaśniającymi - duża zależność.

1.    symptomy współliniowości

IDuże odchylenie standardowe s.e(bi) - mała statystyka t-J^. znaczna część zmiennych

objaśniających będzie statystycznie nie istotna. F= wysokie r² odrzucenie hipotezy zero

2. nie właściwe współczynniki, nie właściwe znaki

3. dodanie obserwacji zmienia statystycznie istotne oszacowanie współczynnika.

II metody wykrywania

yi=Pi+P2x2i⁺P3x3i⁺-⁺Pkxki⁺ei aby wykryć

niedokładności współliniowości w modelu k-1

w regresji yi=pi+p_2x2i⁺p3x3i⁺• ••+Pkxkiei-R²

k-1 x2i=aO+a1x3i+a2x4i+Ei=R²

x3i=OO+(t>1x2i+02x4i+£i=R²3

x4i=L(0+i-i1 x2i+ą2x3i+si=R²4

R²k >R² występuje xki, powoduje niedokładną

współliniowość

III. jak można przedsięwziąć środki zaradcze. Kroki wyrzucić zmienną która powoduje problem współliniowości. Krok2 możemy podnieść do kwadratu zmienną objaśniającą Krok3 szeregi czasowe Axt=XT-xt-1 Krok4 dodanie obserwacji do próby.

Współliniowość oznacza dokładna lub bardzo wysoka korelacje miedzy regresorami. Symptomy współliniowości Występowaniu współliniowości towarzysza następujące objawy:

1.    Współczynniki maja bardzo duże biedy standardowe i w związku z tym znaczna liczba regresorów jest nieistotna, nawet wtedy, gdy łącznie są one istotne, a R2 jest wysokie.

2.    Współczynniki regresji mogą mieć niewłaściwe znaki i niedopuszczalna wielkość.

3.    Małe zmiany w zbiorze danych

statystycznych (na przykład dodanie jednej lub kilku nowych obserwacji) mogą prowadzić do znacznych zmian oszacowań współczynników regresji przy niektórych zmiennych. Analogiczne zjawiska obserwujemy, gdy w próbie jest mała liczba obserwacji i mała zmienność zmiennych objaśniających. Zaobserwowanie objawów występowania współliniowości skłania do sprawdzenia, czy rzeczywiście mamy do czynienia ze współliniowością._

16. Na czym polega uogólniona metoda najmniejszych kwadratów?

UMNK (uogólniona metoda najmniejszych kwadratów) założenia:

KMRL:

Var(Ei)=sig² (E - homoskedastyczne)

Cov (Ei,Ei)=0 (brak autokorelacji)

Var (E)=sig²T

Mamy macierz jednostkową 5² 0 0    5²

E jest sfery styczne do niego dążymy jeżeli var —(Ei) równa się sig² (E - homoskedastyczne) lub / i cov (Ei,Ei)=0 (brak autokorelacji) wtedy Var (E) =sigQ

b- estymator b nie jest estymatorem najlepszym. Jezli składnik losowy nie jest sfery styczny to wykorzystujemy uogólniona metodę najmniejszych kwadratów (UMNK).

Zakładamy jakąś postać braku sferyczności na podstawie próby szacujemy postać występującej w niej materię Omega (SUMNK) to jest stosowane w praktyce.

17.    Proszę przedstawić test Durbina-Wadsona i go omówić.

Ho:cov (£t, £_t-i)=0 (brak autokorelacji I rzędu) Hi:cov (£t, £_t-i)^0 (występuję autokorelacja I rzędu)

Kroki szacujemy regresję i uzyskujemy reszty mi = reszty.

Współczynnik autokorelacji I rzędu

T=1,...T

Krok2 Statystyka testowa DW:

a) dostatecznie dużej DW=2*(1-ró)

b) jak mała DW=2*(1-ró)-....

Krok3 statystka krytyczna. Uzyskujemy ze ; specjalnych tablic DW: d1 -dolna wartość krytyczna . du- górna granica krytyczna . Krok4 Podjęcie decyzji 0—dl—u—2—4-du—4-dl-

| DW należy [o,2];[2,4] do którego należy obszar | statystyka testowa DW.

18.    Co to jest standardowy błąd prognozy i przedział prognozy.

Standardowy błąd prognozy jest średni błędem o który różni się prognoza y=x’ Tb od pojedynczej relacji zmiennej prognozowej yT+s⁼X’_T+s|3⁺£T+s Przedział prognozy jest przedziałem ufności dla pojedynczej relacji zmiennej prognozowanej yT+S, jest ...wyznaczony analogicznie do przedziału ufności dla pojedynczego parametru Bk P(yT+S-tn-k.

19.    Jaki są skutki pominięcia w konaniu regresji istotnych zmiennych objaśniających?

yi=(3i+p₂x2i+...+Pkxki⁺ei - model ograniczony yi=Pi+p2_X2i+...+p_kxki+Ei...+a1Z₁i+a₂Z2i₊.a_mZ_ITlj+Ei i model bez ograniczeń j 1 budując model ekonometryczny powinniśmy j do niego włączyć wszystkie zm ienne j objaśniające, które wpływają na badane zjawisko na podstawie teorii a następnie eliminować zmienne nieistotne 2.jeśli szacujemy równanie pierwsze a poprawny jest model drugi to występuje problem pominięcia zmiennych objaśniających. Skutki:

b- będzie estymatorem obciążonym

E(b)*P _f

E₍b)⁼0(x’x)'VZa

Wyjątki:

a=0 «a₁₌a₂=...a_m=0 są nieistotne X’Z=0 estymator b jest nieobciążony

20.    Jakie są efekty dodania do równania regresji nieistotnych zmiennych objaśniających? yi=p₁+p_2x2l+....+p_kxki+Ei yi=Pi+p2_X2i+....+p_kXkj+Ei

■ • • ciiZii+a₂Z₂j+... a_mZ_m+Ei

szacujemy model drugi a w rzeczywistości

poprawny jest model pierwszy.

Efekt: b- estymatorem nieobciążonym nieefektywnym będzie miał dużą wariancję t= bi/se(bi) estymator nieefektywny, który ma dużą wariancję, problem z istotnością.

21. Proszę przedstawić test Wnite a i go omówić?

Ho:var (£j)=sigm²(£jest homoskodastyczne) Hbvar (£₁)=sigma r (sjest hetroskodastyczne) Kroki Szacujemy regresję: yi= yi=Pi+P2x2i+p3x3i+-+ Pkxki+ei - reszty =ei i ei² Krok2 przeprowadzamy regresje pomocniczą •2 2 2* ei +Qi +a_2x2i+a_3x3i+a4_x2| +Q5_x3i +a_6X2rx3i⁺Ei statystyka testowa W=n*R² n- liczebność próbki

statystyka krytyczna A²(k-1)- odrzucamy H₀ H₀=a₂=a₃=a₄=...a₆=0 (£ jest homoskodastyczne)

22. Jak testujemy hipotezę o nieistotności określonego podzbioru regresorów? Przedstawiamy dwa modele

1) model z ograniczeniami

yi=p₁+p₂x2i+...+Pkxki⁺Ei

2) model bez ograniczeń yi=

Pi+p2x2i+• • • +Pkxki+Ei- •aiZ_1i+a₂Z_2i+... a_mZ_mi+E| np.: dochód =pi+p_2wiek⁺p3płeć⁺ Ei dochód = Pi+P₂wiek⁺P3pleć+ai staż ⁺ Ei

3) testujemy: czy określony podzbiór regresora jest: H_o;a₁=a₂...=a_m=0

H₀= a,=0 a₂=0

a_m=0

Hi: nie wszystkie ai...a_m są równe zero