Teraz zobaczymy jak wygląda prawa strona równości. Trzeba w miejsce n do wzoru danego w temacie zadania wstawić n +1.
L = P
zatem
Wzór z zadania przekształcamy tak:
rt+1
3"+1-l 3"+l+l-1 3"+2-l
Zad.3
Udowodnij, że /\ 4 + 10 + 16 + ... + (6n - 2) = n (3n + 1)
W € N
Dowód:
Pierwszy krok indukcyjny (Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej). Oznaczamy lewą stronę równania przez L, a prawą stronę przez P.
Niech n= 1, wtedy
L = 4 bo jeśli w miejsce n do
li 6«-2 wstawimy n = 1, wtedy
61-2=6-2=4
P = «(3*n +1) = 1 • (3 • 1 + 1) = 1 ■ (4) = 4
czyli
L = P
Drugi krok indukcyjny (Sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy też jest prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli n + 1).
L-4 + 10 + 16 + ... + (6/i — 2) + (6 (n + 1) — 2) =
= n (3/i + 1) + (6 (n + 1) - 2) = = /2(3/2 + l) + 6(/2 + l)-2 =
= 3/22 + /2 + 6/i + 6- 2 =
= 3/i2 + 7/2 + 4
Tworzymy sumę dla następnego n, wstawiając w miejsce n n + 1, czyli znajdujemy sumę n + 1 wyrazów.
Teraz redukuję wyrazy podobne.
Teraz prawa strona.
W miejsce n po prawej stronie wstawiamy n + 1, czyli
P = (n +1) (3 (n +1) + 1) = = (« +1) (3n + 3 +1) =
= (« + l) (3n + 4) =
= 3n2 + 4n + 3rt + 4 =
w+1 n+l
V V
n (3n+ 1)
przekształcamy wyrażenie, mnożąc, redukując wyraży podobne.
= 3m2+ 7« + 4
zatem
L = P
Zad.4.
Udowodnij, że
„eN 2 5 5-8 8 11 (3«-l)(3n+2) 2(3n+2)
Dowód:
Pierwszy krok indukcyjny (Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej).
Oznaczamy lewą stronę równania przez L, a prawą przez P.
Niech n = 1, wtedy W miejsce n we wzorze
(3«-l)(3n + 2)
1 wstawiamy 1
L =
1 _ 1
(3 • 1—1) (3 - l-t-2) (3-l)(3+2) 2 5 10
1
1
P =
_ 1 _ 1
2(3 1+2) 2-5 10
1
L = P
13