skanuj0039 (4)

VI, 3. Pochodne cząstkom drogiego rządu    233

Jeżeli /: K" - R ma wszystkie pochodne pierwszego rzędu, to dla danego (x_{.....x_n)e D_f

funkcja / może mieć n² pochodnych drugiego rzędu. Wyrażenie f_xx nazywamy pochodną cząstkową drugiego rzędu, liczoną najpierw ze względu na s a następnie na Xj.

Funkcja dwóch zmiennych f(x, y) może mieć cztery pochodne drugiego rzędu:

/;; = (/;);> /;; = (//)/- /; = (//)/- /,; = (//)/

^    ^-— mieszane pochodne drugiego rzędu —^

'    .......— czyste pochodne drugiego rzędu    ....... ..... . 1

Przykład VI.3.1

Wyznaczymy pochodne drugiego rzędu funkcji:

a)    f(x,y) =2x² + -

y

f_x'(x,y) = 4* +y‘\    f_y'(x,y) = -xy~².

1 1 f;,(x,y) = 4, f_x"_y(x,y) = -y-², f_y"_x(x,y) = -y'², f£(_x,y) = 2xy'\

b)    f(x, y) = e?^2y-,

f_x'(x,y) = 2xye^ty ~*f_xx{x,y) = 2ye*^2y + 4x²-y²-e*^2y = 2y(l + 2x²y)e**^y,

U bfej) = 2xr?^ly + 2xy-x²e?^ty = 2x(l + x²y)e?*^y. f_r'(x,y) = x²e^,Zy - f;_x(x,y) = 2xe^ly+x²-2xye^ly = 2x(l +x^ly)t?Y U fyy(x,y)= x⁴-e*\

Uwaga: Jednakowa postać pochodnych mieszanych drugiego rzędu funkcji f(x,y), otrzymana w obu przykładach, nie jest przypadkowa. Ma to zawsze miejsce, gdy pochodne mieszane są funkcjami ciągłymi.

B. Pochodne czyste drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych, podobnie jak pochodne /" funkcji / jednej zmiennej, wykorzystuje się do określenia tempa zmian wartości funkcji ze względu na odpowiednią zmienną. Charakteryzują one także kształt powierzchni będącej wykresem funkcji f(x,y).