Skan5

3.

In Fig. 3 sind zwei Teilintervalle zu sehen, auf denen die Funktion verschiedenes Verhalten zeigt. B ist ein Grenzpunkt zwischen ihnen. Die Tangente in B geht von der einen auf die andere Seite des Graphen und die Funktion von konvexen zur konkaven

(oder umgekehrt) uber. Dieser Punkt heipt Wendepunkt (punkt przegięcia) und X₀ Wendestelle.

Beim Ubergang (wir durchlaufen das Schaubild stets im Sinne wachsender x - Werte) durch den Wendepunkt geht die Tangentensteigung von zunehmenden zu abnehmenden Werten Uber. Die Tangentensteigung hat also ein lokales Maximum bei

⁰ .Dieser Schluss gilt auf fur den Ubergang von der konkaven zur konvexen Funktion.

f . x    .    a    f”(x ) = 0

Ist ^ bei ⁰ differenzierbar, dann schliafcn wir, dass ^J v °'

Satz 1, Es wird vorausgesetzt, dass f auf I mindestens zweimal differenzierbar ist, dann

gi>t

a~) fNotwendiee Bedineune fur Wendestellen')

X g I

Ist ⁰ eine Wendestelle, dann ist

/*(*«>) = o

b) (Tlinreichende Bedingung fur Wendestellen)

Ist a) erfullt und hat f einen Vorzeichenswechsel bei ^x° ^G ^, dann ist ^x° eine Wendestelle

X    f^ff(x 1 — Q

Satz 2, Ist f an der Stelle ⁰ mindestens dreimal differenzierbar und ^J v 0 ’ und

/ (^xo) ^ 0 _? dann [_si ^xo _ej_ne Wendestelle.

f^m(_x ) ₌ o

Bemerkung: Sollte sich zeigen, dass ^J v 0j ist, dann kann die Entscheidung ob eine Wendestelle vorliegt nicht getroffen werden. In diesem Fali mufe Bezug auf den

f”(x)    ^r

Yorzeichenswechsel von J \ f genommen werden.