Skan5

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Integrale vom Typus ^R\x^Jax² +bx + c

Alle Funktionen, die sich auf die Form ^ax² +bx + c)

bringen lassen, die also aus x selbst und einer Wurzel aus einer ąuadratischen Funktion von x rational aufgebaut werden konnen lassen sich geschlossen integrieren d.h durch die uns bekannten Funktionen ausdriicken.

Bei der Intergration bedien wir uns der Hyperbelfunktion.

Dabei machen wir Gebrauch von den einfach nachzupriifenden Beziehungen

ch^-sh^l    (shx)’=ch x    (cothx)’=    —

sh x

sh2x=2shx chx    (chx)’=shx

ch2x=sh²x+ch²x=2sh²x+1    (tanhx)’=-\—

cos hx

An einem Beispiel wird gezeigt wie man die zu der Hyperbelfunktion inverse Funktion findet.

O)

x=sh t Def-

— 2

i

U- ^r £ )

Die Funktion x=sh t ais streng monoton steigend besitzt auf R eine Umkehrfunktion t-arshx -,y 1

a--

so erhalt man x=-— <=> a² - 2xa -1 = 0

2

Die ąuadratische Gleichung hat zwei Losungen a_x = x + ylx² +1 a₂ = x - *Jx² +1 < 0

Die zweite von ihnen wegen a=e‘ >0 kommt nicht in Betracht Kehrt man zur Variabeln t zuriick, so ergibt sich

e^l - x + ^[x²~+\ t = ln(x + Vx² +1)

Also arshx - ln(x + Vx² +1), xeR