007

Komplexnim fisiem nazvemc vyraz tvaru a + b i, kde a, b jsou redlna fisia a i je ćlslo, pro neż i² — —1. V komplexmin fisie a + b i so fislo a nazyva realna fast, fislo b - nikoli b i imaginarni fast; fislo i se nazyva imaginarni jednotka.

Podstatnf vet§i duleżitost neż to, jak se fisia a + b i nazyvaji, ma otazka, podle jakycłi pravidel se sfitaji, odfitaji, nasobi a umocńuji. Pfi jejim feśeni vyuzijeme toho, ze jsme uź zjistili, że fisia 2 ± 3i jsou koreny rovnice x² — 4x + 13 = 0; pravidla pro sfitani a nasobeni musi byt zrejme takova, aby platilo:

(2 + 3i)² - 4(2 + 3i) + 13-0,    (2 - 3i)² - 4(2 - 3i) + 13 = 0

Provecfme prisluśne pofetni vykony tak. jako by ślo o obvykle sfitani a nasobeni dvojflenu, s ohledem na to, że i² — -1. Dostaneme tak:

(2 + 3i)² - 4(2 + 3i) + 13 = (4 + 12i + 9i²) + (-8 - 12i) + 13-- (4 - 9 - 8 + 13) + (12i - 12i) = 0 (2 - 3i)² - 4(2 - 3i) + 13 = (4 - 12i + 9i²) + (-8 + 12i) + 13 =

= (4 - 9 - 8 + 13) + (—12i + 12i) = 0

Je videt, że zpusob, który jsme pro sfitani a nasobeni fisel a + bi zvolili, se osvedfil, nebot’ zkouśka ukazała, że obe fisia 2 ± 3i jsou opravdu koreny dane rovnice. Budeme proto timto zpusobern sfitani a nasobeni komplexnich fisel definovat.

Protoże pożadujeme, aby se komplexni fisia sfitala obdobne jako dvojfleny, definujeme pro libovolna komplexni fisia a + b i, c + di:

(a + 6i) + (c + di) — (a + c) + (b + d) i

Soucet komplexnich fisel je komplexni fislo, jehoż realna fast je rovna souf.tu realnych fasti a imaginarni fast souftu imaginarnich fasti vSech sfitancu.

Nasobime-li komplexni fisia a + b i, c + di jako dvojfleny s ohledem na to, że i² — —1, dostaneme

(a + b i)(c + di) — ac + a(d i) + (6i)c + (/ń)(di) —

— ac + bd i² + odi + 6ci — (ac — bd) + (ad + bc) i;

(o 4- bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i

Tyto definice se nemusite ućit zpamćti; staći si pamatovat, że kom-plexni ćisla sćitame a nasobime jako dvojćleny.

Protoże s nasobenim uzce souvisi pojem n-te mocniny, uvedme hned nyni, że n-tou mocninou (kde n je pfirozene ćislo) komplexni-ho ćisla 2 rozumime - stejnć jako v pfipade ćisel realnych - soućin n ćisel 2, tj.    2” = 2 • 2 •... • 2

^v-v-'

n-krat

Zbyva uż jen urćit, kdy se dve kornplexni ćisla rovnaji, coż pro-vedemc zcela pfirozene takto:

Komplexni ćisla a + 6i, c + di se rovnaji. pravć tehdy, kdyź plati a — c a zaroveń 6 = d. Jinak rećeno: Libovolna dve komplexni ćisla se rovnaji, rovnaji-li se jejich ćasti realne i jejich ćasti imaginarni.

Timto zpusobem jsme dosahli toho, że mamę definovano sćitani i nasobeni komplexnich ćisel. Nezapomeńme vśak na to, że existen-ci techto ćisel zarućenu nemame; predchazejici uvahy totiż vychazely z predpokladu, że exist.uje prvek i nejakeho neznameho ćiselneho obo-rn, a o tomto predpokladu nevime, zda je, ći neni pravdivy. Existenci tohoto oboru s prvkem i je nutno dokazat; tento dukaz se obvykle provadi tak, że se hledany obor primo zkonstruuje.

Jakmile je existence oboru s prvkem i, pro nejż i² = — 1, dokazana, prestavaji byt komplexni ćisla hypotetickym pojmem a sta-vaji se - alespoń v matematickein smyslu objekty, ktere existuji stejne skutcćnć, jako ćisla realna. Mużeme tedy mluvit o mnożine v§ech komplexnich ćisel; budeme ji znaćit pismenem C.

Povśimnćme si jeste, jake dusledky maji definice sćitani a nasobeni pro ta komplexni ćisla, jejichż imaginarni ćast je rovna nule. Pro soućet a soućin komplexnich ćisel Z\ — a + Oi, 22 = c -I- Oi dostavame: zi + z-2 — (a + Oi) + (c + Oi) = (a + c) + Oi ziz-2 — (a + Oi)(c + Oi) = (ac) + Oi

13