036

Je-li D O, ma vyraz s/D — \/b'² — 4ac smysl, także pośledni rovnici mużeme psat ve tvaru

(2ax + b)² - (y/D)² = 0

a jeji levou stranu vyjadfit jako soufin

(2ax b — y/~D ) (2ax 4" b 4- y/~D ) = 0.

Odtud je videt, że jejimi koreny jsou fisia

-b + \[D    -b-s/D

=-t,-- , x₂ =---;

2a    2a

vime uż pritorn, że jine koreny tato rovnice nema.

Zabyvcjme se nyni pripadem, kdy diskriminant D = 6² — 4ac dane rovnice je zaporny. Postupovat stejne jako v pfedchozim pripade zrejme nemuźeme, nebot’ pro D < 0 neni y/D definovana. Mużeme v§ak vyużit toho, że ma smysl vyraz y/—D, nebot’ —D > 0.

Vyjdeme opet z rovnice

(2 ax + b)² — (b² — 4 ac) = 0,

tj. z rovnice

(2ax + b)² + (-D) = 0, kde - D > 0. Odtud użitim vztahu (viz clanek 1.5)

A² + B² = {A + iB)(A-iB)

dostaneme

(2ax + b — W—D) (2ox 4- b 4- iy/-D) = 0. Koreny dane rovnice jsou tedy fisia

Xi

-b + iy/^D 2 a

X-₂ =

-b-iy/^D 2 a

Ysimnfte si, że to jsou fisia sdrużena.

Snadno ovefime, że dana rovnice jine koreny nerna. Kdyby totiż mela koren Xo takovy, że Xo # X\, Xo / £2, platilo by

«Xq + bx o + c = 0

neboli

(2axo + 6 — i\/—D) (2axo + b + W—D ) = 0, coż by znamenalo, że

—b + i \/—D    —b — i y/—D

a:₀ =--- nebo x₀ ----,

Za    Za

tj. xo = Xi nebo xo = X2, coż je ve sporu s predpokladein Xo i¹ Xi a Xq i¹ X2-

Yśechny tyto uvahy shrneme:

Kvadraticka rovnice ax² +bx + c = 0 s realnymi koeficienty a zapornym diskrinunantem D ina v oboru komplexnic.h dsel prave dva korony, a to sdrużena imaginarni cisla

Xi =

-b + iy — 2a

-b-\s/=D

2a

V oboru komplexnich cisel ma tedy każda kvadraticka rovnice s realnymi koeficienty feseni.

71