0149

151

§ 1. Długość krzywej

a wiec długość zmiennego łuku —-4Af od punktu A (t — 0) do dowolnego punktu M (t >0) wyraża się wzorem

Dla f<0 należy w ostatnim wzorze postawić po prawej stronie znak minus.

6)    Spirala Archimedesa: r «■ ad.

W myśl wzoru (5b), licząc długość łuku od bieguna O do dowolnego punktu M (odpowiadającego kątowi 0), otrzymujemy

« _ _ _

-OM = a f \fiTWdd = i-aldy' 1 + 0² +ln(0+ j/l + 0²)]. o

Ciekawe, że podstawiając do ostatniego wzoru ® ⁼ ~ dostajemy wyrażenie, formalnie takie samo,

jak wyrażenie dla długości łuku paraboli [patrz 2)].

7)    Spirala logarytmiczna: r = ae^m9 (rys. 10).

Ponieważ r'_t = mr, więc r — —rL i dla łuku kjM₀M krzywej łączącego punkt A/o(r₀, 0_o) z punk-tn

tern M(r, 0) otrzymujemy z tego samego wzoru (Sb)

«    ,- a    ,-

, ₌ ^A/_oM= J_|/W,.'²rf0 = l/l+_L j_r'_d6 = -i/l+J-(r-r₀).

Bo    ^f    Bo    ^V

Gdy przypomnimy sobie, że dla spirali logarytmicznej tg to = —, to otrzymany wynik będziemy

m

mogli napisać w postaci

r = ~ M₀M = —-° .

COS O)

Zbliżając punkt M₀ do bieguna O, tzn. przechodząc z r₀ do granicy (r_o-*-0), oraz przyjmując otrzymaną granicę długości łuku -—A/₀Af za długość łuku —OAZ, dochodzimy do jeszcze prdstszego wyniku

f = — OM = —-— .

COS (O