0157

159

§ 1. Długość krzywej

a więc można przyjąć, że kąt biegunowy- 0 jest równy a —w, stąd zaś a = w+8. Ostatecznie równanie biegunowe naszej krzywej ma postać

r= ^m —e-y*.

yl+m²

jest to spirala logarytmiczna [226, 3)]. Wielkość współczynnika przy e^m0 nie gra żadnej roli, ponieważ przez obrót osi układu biegunowego można ten współczynnik uczynić równym I.

4) Zajmiemy się teraz zadanićm innego rodzaju: dana jest krzywa, należy znaleźć jej równanie naturalne.

(a) Dla linii łańcuchowej mieliśmy [331, I); 252, I))

s = a sinh — = ^y² — a², R = i a    o

stąd R = a-\--.

a

(b)    Dla asteroidy x = a cos³/, y = a sin³/, jeśli jako punkt początkowy liczenia długości luku wybierzemy środek jej gałęzi leżącej w pierwszej ćwiartce, jest [porównaj 331, 3)]

s — — a sin²/— — a , R = 3<t sin / cos /.

2    4

Dlatego mamy dalej

R² — 4- -j a sin²/- yo cos²/ = 4    +    (-j-a—i) = 2. a²—As²

i ostatecznie równanie naturalne asteroidy można napisać w postaci /?²+4s² = -j- a².

(c)    W przypadku kardioidy r = a (1 +cos 6) mieliśmy [331, 9); 252, 6)]

s = 4a sin — 8, R = —a cos — 0 :

2    3    2

jej równanie naturalne ma oczywiście postać 9R²+s² = 16a².

(d)    Ostatnie dwa wyniki są szczególnymi przypadkami następującego stwierdzenia: równanie naturalne epicykioidy i hipocykloidy [225, 7)] ma postać

(1+2/w)² R² + s² = 16/»i²(l +m²) a².

(e)    Nietrudno teraz otrzymać na nowo równania ewolwent koła, cykioidy i spirali logarytmicznej znane nam już z przykładów 1)—3).

5) Mając dane równanie naturalne krzywej, można znaleźć równanie naturalne jej ewoluiy. Mieliśmy bowiem zależność [255, (15)]

(22)    p = R — .

ds

Jeżeli punkt początkowy liczenia długości łuku na ewolucie wybierzemy w ten sposób, żeby było R — o [patrz 255, 2*], to rugując R i s z tych dwóch związków i z równania naturalnego krzywej, otrzymamy zależność między p i a, tzn. równanie naturalne ewoluty.

(a)    Dla spirali logarytmicznej R = ms mamy p = mR = ma. Otrzymaliśmy więc poprzednie równanie tylko w innych oznaczeniach. Wnioskujemy stąd, że ewolutą jest taka sama spirala logarytmiczna, która od wyjściowej może się różnić jedynie położeniem [porównaj 254, 5)].

(b)    Dla ewolwenty kola jest

</ = R = ]/las ,

2a

c/R _    / a _    1    _ a_

ds ~ V 2 ‘ /f a

p = o- — — a a

(wynik, który należało przewidzieć).