0189

191

§ 2. Pole i objętość

Pole wspomnianej powierzchni wynosi na mocy wzoru (25)

IC/2

|R| = 4R² j cos t dt = 4R² .

o

5) Wyznaczyć pole powierzchni bryły, która jest częścią wspólną dwu walców o promieniach r, których osie przecinąją się pod kątem prostym [porównaj 343, 11)]. Wprowadzimy układ współrzędnych jak na rysunku 33.

Ograniczając się do jednej z powierzchni walcowych zawartych w pierwszym oktancie, mamy

x = r cos /, y = r sin /

oraz

z = ^r¹ — x¹ = r sin /    (0 < / < ~ n) .

Zgodnie z wzorem (25) połowa szukanego pola wynosi

nu

-i |P| = 8r² f sin t dt = 8r² ,

2

a więc |R| = 16r².

6) Rozwiązać analogiczne zadanie w przypadku, kiedy walce mają różne promienie r i R>r [porównaj 343, 12)].

Wyznaczymy najpierw pole części powierzchni walca o promieniu r. Mamy teraz x = r sin /, y = r cos /,    (0 < t < n/2) ,

z = j/R²-x² = }/r²—r²sin²/ = R (/l-k² sin²/ (k = r/R) .

Ze wzoru (25) wynika, że

TT/2 __ _

|P, | = 8Rr / ^1 - *² sin²/ dt = 8RrR (*) .

Przechodząc do powierzchni walca o promieniu R, zamieniamy rolami osie z i y. Teraz jest

x = R sin /, z = R cos /,

y = i/r²—*²'= i/r² —R^rsin²/ = r]/l--V sin²/ (k = r/R),

y «²

przy czym / zmienia się (jeśli ograniczyć się do pierwszego oktanta) tylko od 0 do arc sin k. A więc ze wzoru analogicznego do (25) otrzymujemy

•resinfc    arcsla*__

|Rj| = 8 J y ]/i;² + z;² dt = 8Rr f l/l - sin²/ dt. o    o '

Podstawienie

sin / = k sin <p, dt

k cos²y dtp ]/\—k² sin²ęi

gdzie <p zmienia się od 0 do rt/2, prowadzi do równości

cos²<p dtp y/l— k² sin²ę>

arctlaft ___ W/ 2

J l/l sin²/ dt ⁼ k J

o '    o