053

fa protoźe argumenty Cisel zf — 1, x\- X\, xf — xf jsou shodne, plati dale

\x\ - l| - I*} -*i| + |*? -zf| -

= |(®i -1) - K-*i) + (*i -®i)| =

= |zf — x\ + x\ - *1 + *1 - 11 .

Protoźe vsak Cisło X\ je korenem rovnice x¹⁴ — 1 = 0. tj. rovnice (z⁷ — 1) (z⁷ + l) = 0, a protoźe x\ ^ l, plati x\ + 1 = 0. Je tedy

Zj + 1 = (zi + 1) (z® - zf + x\ - z® 4- x\ - zi + l) = 0,

odkud - vzhledem k tomu, że je Zi / — 1 - dostaneme

zf - zf + *i — zf + *i — zi + 1 = 0,

neboli

x\ = zf — zf -t- zf — zf + Zi — 1.

Dostali jsme tak, że plati

|i4₀i4₅| - |^4₀^4₃1 + |i4₀;4i| = |zf -x\ + zf - x\ +z_x - l| = |zf | = 1,

nebotf Cisło zf je komplexni jednotka. Tim je dukaz platnosti daneho vztahu proveden.

Priklad 3

Dokażte, że v pravidelnem sedmiuhelniku AqA\ ... A§ plati

1 _ 1 1

l^o^il | ^4.0 ^4-21 l^o^al

Reśeni

Sedmiuhelnik A_{)A_} ... Aę umistime v Gaussove rovine tak, że jeho vrcholy Ak, k = 0,1,... ,6, jsou po rade obrazy komplexnich jednotek

2kit    . . 2ku    ,

x/ę = cos —-+■1 sin —, k = 0,1,..., 6,

J

coż jsou koreny binomicke rovnice x‘ —1=0 (viz obr.4.3). Rovnost, kterou manie dokazat, je ekvivalentni s rovnosti

\AoM , \AqAi\ ... ,

tj. s rovnosti

ki - H . ki -1| _ , k! -1| k? -1|

Upravime nejprve prvni z obou ziomku, a to t.ak, źe komplexni Cisło x\ — 1 nahradime cislein xf - zf, ktere ma stejnou absolutni hodno-tu a jehoź argument je roven argumentu cisla x\ - 1 (viz obr. 4.3). Dostavame tak

ki -1| _ ki - H _ ^xi - ¹ ki —1| k?^_a;il x\ — xf

Ve druhem ziomku nahradime komplexni ćislo X\ — 1 ćislem x'f — xi, ktere ma stejnou absolutni hodnotu a jehoź argument je roven argumentu cisla xf - 1, także plati

ki ~ 1| _    ~ ^xi | _ xj - xi

ki -    ^_ ki -i|    - i '

105