Struik 093

do Erlangenskeho programu, podnitila k novym myśleń-kńm nejen Kleina, nybrz i Helmholtze a Lie. Helmholtz studoval v letech 1868 a 1884 Riemannovo pojeti prostoru, zcasti pri hledśni geometricke podoby sve teorie barev, zćasti, aby prozkoumal puvod naseho chśpdni prostoru. To ho vedlo ke zkoumani podstaty geometrickych axiómu, a zvlśste „Riemannovy kvadraticke formy“, kterd tvo-rila zśklad vsech mereni. Lie zlepśil teoreticke uvahy Helmholtzovy o charakteru Riemannovy miry tlm, że zkoumal podstatu transformacnich grup, ktere vytv&rely jeji zśklady (1890). Tento „Lie-Helmholtzuv“ problem prostoru mil svuj vyznam nejen v teorii relativity a v teorii grup, nybrz i ve fysiologii.

Klein vylożil Riemannovo pojeti komplexni funkce ve sve kniżce Uber Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen (1882) a ukSzal zde ddrazne na to, jak mo-hou fyzikńlni pozorovani ovlivnit nejjemnejśi matematic-ke uvahy. V prednalkach o ikosaedru (Vorlesungen iiber das Ikosaeder, 1884) ukazał, że modern! algebra muże prinest mnohe prekvapujicl pohledy na starS platónskś telesa. Tato prace obsahuje studium rotacnich grup pra-videlnych teles a jejich vztahy ke Galoisovym grupdm algebraickych rovnic. V obsśhlych studiich, ktera prova-del sam i ve spoluprści s cetnymi żaky, aplikoval Klein pojem grupy na linearni diferencialni rovnice, na elipticke modularni funkce, na Abelovy a nove automorfni funkce; pośledni tema zpracovdval v zajimavem a pratelskem souteżeni s Poincarem. Pod nadsenym vedenim Kleino-vym se stało Gottingen se svou tradici, poćinajici jiż od Gausse, Dirichleta a Riemanna, svetovyrh centrem matematickeho badćini, ve kterem se soustfed'ovali mladi lide mnohych nśrodnosti, aby studovali specidlni mate-maticke otśzky jako integralni soucast souboru matematickeho vedeni. Klein mel podnetne prednśśky, jejichż rozmnożovan§ opisy sly z ruky do ruky a poskytovaly celym generacim matematiku jak specidlni znalosti, tak take — a to predevsim — napomahaly porozumet celis-tvosti matematiky. Po Kleinove smrti roku 1925 były mnohe z techto zśpisu uverejneny kniżne.

Mezitim odhalil Sophus Lie v Pariżi kontaktni transfor-mace, a tim klić k cele Hamiltonove dynamice, kterou było możno chdpat jako cast teorie grup. Po svśm nś-vratu do Norska se stal profesorem v Christianii, pozdeji v letech 1886—1898 ućil v Lipsku. V£noval cely sv£ij żivot systematickemu studiu spojitych grup transformacl a jejich invariant£i, prićemż ukazał jejich ustredni vyznam jako klasifikadmho principu v geometrii, v mechanice, v teorii obycejnych a parciślnich diferenciślnich rovnic. Vysledky sve celożivotni prSce ulożil v rade standardnich svazku, ktere były vydśny peći jeho żaku Schefferse a Engela: Transformationsgruppen (1888—1893), Differen-tialgleichungen (1891), Kontinuirliche Gruppen (1893), Beriihrungstransformationen (1896). Lieovo dilo podstatne obohatil francouzsky matematik Elie Cartan.

25. Ve Francii, kterći ćelila stśle tv£ri v tvśr obrovskemu vzrustu matematiky v Nemecku, se nadaie objevovali vynikajici matematici pro vśechna odvetvf. Je zajimave srovnavat francouzske a nemecke matematiky: Hermita a Weierstrasse, Darbouxe s Kleinem, Hadamarda s Hil-bertem, Paula Tannery s Moritzem Cantorem. Ve ćtyri-cśtych aż sedesśtych letech byl vudćim matematikem Joseph Liouville, profesor na College de France v Pariżi, dobry ućitel a organizator, dlouholety vydavatel Journal de mathematiąues pures et appliąuees. Systematicky zkoumal aritmeticke teorie kvadratickych forem dvou a vice promennych, avsak „Liouvillova veta“ ve statistic-ke mechanice ukazuje, że ućinne zasShl take ve zcela odlisnem odvetvi. Prokśzal existenci transcendentnich ćisel a roku 1844 dokśzal, że ani e ani e² nemohou byt koreny kvadratickś rovnice s racionalnimi koeficienty. Jeho vysledky jsou soucasti retezce dukazu, ktery vedl od Lambertova dukazu, że z je iracionślnl (1761), k Her-mitovu dukazu, że e je transcendentni (1873), a konecne k dukazu Weierstrassovą żśka F. Lmdemanna, że jt je transcendentni (1882). .Liouville a nekolik jeho spolupra-covnikCi rozpracovśvalo diferenciślni geometrii krivek a płoch; take formule Frenet-Serretovy z roku 1847 pochS-zeji z Liouvillovy skupiny.

Charles Hermite, profesor na Sorbonne a na Ecole polytechniąue, se stal po smrti Cauchyho v roce 1867 hlavnim predstavitelem analyzy ve Francii. Hermitovo dilo pokra5uje prśv£ tak jako dilo Liouvillovo v tradici Gausse a Jacobiho, ukazuje vśak też urditou pribuznost

191