Strona
5

12 2*    .

j{J [ 5 (I — 2 br sin <p cos 0 + 2 cr sin Q)~abcr² cos O d<Ą d6\ dr = — nabc. i * o    3

2

Wstawiając wynik (9) do (4), otrzymujemy ostatecznie, że:

— rabc. 3

ZADANIA. DO ROZWIĄZANIA

1. Obliczyć \\xdydz+ydzdx + 2dxdy, gdy S jest zewnętrzną stroną powierzchni

..    s

1.

określonej równaniem—— + -d— —-

ad b² . c-

2.    Obliczyć J J x^s dy dz + y³ dz dx + z’ dx dy, gdy S jest zewnętrzną stroną powierzchni

s

kulistej x² + y⁷ + z* = R¹.

3.    Obliczyć j J x dydz + y dzdx — z dxdy, gdy 5 jest zewnętrzną stroną powierzchni

s

ostrosłupa wyznaczonego przez płaszczyzny x + y +' z = a, x = 0, y ■= 0, z = 0.-

4. Obliczyć $ $

xdydz + ydzdx + z dxdy

s )/V + y¹ + z³ +3-¹ +    ZZO.

po zewnętrznej stronie powierzchni półkuli

5. Obliczyć J J (r.+ 1) dx dy, gdy S jest zewnętrzną stroną powierzchni kulistej

i , f

x² + y² + z¹ = R¹

6.    Obliczyć J $ 2 dx dy + y dz dx — x²z dydz,S gdy jest zewnętrzną stroną powierzchni

£ . ograniczającej część elipsoidy +v^ł + y² + 4z^a <4 położonej w pierwszej ósemce układu współrzędnych.

7.    Obliczyć j J x² dydz + y² dz dx + z² dx dy, gdy S jest zewnętrzną stroną powierzchni

$

kulistej o równaniu (x — a)² + (y — b)¹ + (r — c)¹ = R².

8.    Obliczyć J J x dydz + y dzdx + z dxdy, gdy 5 jest:

s

a)    górną stroną powierzchni kulistej x² + y² + z² = R², z£0;

b)    zewnętrzną stroną powierzchni z = 1 —j/x² + y², 0<z< 1.

. ^Znaleźć strumień wektora pola W przez powierzchnię zorientowaną S, gdy:

a)    W = 2 i — x j + 5 zk, S jest górną stroną powierzchni trójkąta wyciętego płaszczyznami układu współrzędnych z płaszczyzny o równaniu x + 2y + 3z = 6;

b)    W = x² i + xj + xzk, S jest zewnętrzną stroną części powierzchni y = x² + z², O^ysęl, leżącej w-pierwszej ósemce układu współrzędnych.

/

10.    Stosując twierdzenie Gaussa-Ostrogradskicgó, obliczyć strumień wektora W =

= .ri -f yj + rk przez powierzchnię S, gdy 5 jest:

»

a)    powierzchnią boczną walca v² + y² KR¹ dla |z| < H zorientowaną na zewnątrz;

b)    wewnętrzną stroną powierzchni bocznej stoika x² + .v^J<4z² dla 0<z<l;

c) zewnętrzną stroną powierzchni sześcianu— a    o,    —aSyfio,

d)    zewnętrzną stroną powierzchni ostrosłupa ograniczonego płaszczyznami: x = 0, y = 0, z = 0. x + y ~ z — a, a> 0.

11.    Obliczyć strumień wektora pola W przez powierzchnię S, gdy:

R¹

a)    W = x³ i + y³ j + z³ k, S jeąt całkowitą powierzchnią stożka x² + y¹ < — z^J, 0 fiz^H, zorientowaną na zewnątrz;

b)    W = .tji + yzj + ark, .9 jest zewnętrzną stroną powierzchni ograniczającej ósmą część kuli x² + y² z² ^ 1, x>0, y>0, z> 0;

c)    W = 2_vi + yj + ck, S jest zewnętrzną stroną brzegu obszaru V ograniczonego

paraboloidą 2z    x² + y² i płaszczyzną y + z = 4 (rys. 17.13).

Odpowiedzi

1. Anąbc. V	12 ^2- T^nR ‘	a^3 ^3" T •	4 4. 2rtR^2. 5. y nR^3.	, ^1 4 6. ya_-
8it 7. -j-R^3 (a	iJ + r). 8.	. a) 2zrR^3;	b) rt; wskazówka: por.	zad. 3.3.
9. a) —24;	b) 75 . ' 10.	a) 4ixR^2H-	b) — 4a; c) 24a^J;	d) y a^3.
\\^3*R^2H(R^2 -f 2H^2);		b) Jgn;	c) 81n; wskazówka: rzutem obszaru V

na płaszczyznę Oxy jest kolo x² + (y + l)ⁱ<9.

115