img072 (24)

77

77

tftanić z wektorem

	^an	«12 •	•• <*\n
A =	^a2\	^a22	’ * ^a2n
	^am\	^aml '	®mn
	^a2\ ’ *		* 5 ^am\ a *

(4.12)

(4.13) mra-:r: rr R . to - jak nietrudno zauważyć - przestrzeń liniową wszystkich macierzy w * f wy—-.arowych można utożsamić z przestrzenią R'¹'"'wektorów (4.13). Przestrzeń ■■n i etzy A o wymiarze m x n jest zatem przestrzenią m ■ n-wymiarową.

Ztefrrc-e normy w przestrzeni liniowej wszystkich macierzy m x n wymiarowych -astcrr : w idzie tak. jak się to czyni w odniesieniu do przestrzeni R"'^m. Inną grupę norm * *E22srre-_ r.:ow ej macierzy m x n wymiarowych stanowią normy określone dla macie-a» ł Tsrs arare; jako odwzorowanie

A:Rⁿ 3 x->AxeR^m,    (4.14)

jBpcłaargri eloorowej R" w przestrzeń wektorową R"'. Dowodzi się [7, 8], że funkcja pEłpesBairi erc-; macierzy m x n wymiarowej A liczbę rzeczywistą \\A || określoną wzo-

.. ^def \A ■ x    ,.

\\ A = sup 4-jj—rpi = max \\A ■ jc    (4.15)

x*o | x I |*H

'«ac wnss. . rrsstrzeni liniowej macierzy m x n wymiarowych (funkcja określona wzo-m f ra. rerestrzeni liniowej macierzy m x n wymiarowych spełnia aksjomaty nor-SPtti V- ; v ; a 5) _v|j jest normą w przestrzeni argumentów R" odwzorowania zdefi-immmarnsm wzeretr. 4.14). natomiast \\A ■ jc || jest normą wektora A x w przestrzeni R". S»giaE    ace założenie, że normy w obu przestrzeniach są tego samego typu.

> ^— _ rai. erzy określona wzorem (4.15) jest normą odwzorowania liniowego (4.14) śmes»m£2z mra; :ę macierz. Normę określoną wzorem (4.15) można interpretować jako satatr, Hanu mćrego względnego wydłużenia wektora w wyniku przekształcenia realizo-vbę mrąc maaierz A według wzoru (4.14). Z definicji (4.15) normy macierzy A jako •KBri.ra r.: wego z przestrzeni R" w przestrzeń R"' wynika nierówność

| A ■ x | < | A | • | .v |,    (4-16)

y - r » Łznr.ach dotyczących analizy zbieżności ciągów iterowanych, zdefiniowanych apmie : i:rr_=a algorytmu iteracji prostej, wykorzystywane będą następujące trzy normy * irmssrrm. r rwej macierzy m x n wymiarowych, gdzie m i r są ustalonymi liczbami aEararr tł w. r > 1.

Ł ''•ima. macierzy w x «-wymiarowej A zdefiniowana jest zgodnie z (4.15) wzorem