img299 (7)

b)    wyrazów wolnych w warunkach ograniczających (RHS - right hand side), a więc zasobów surowców, norm żywienia czy planowanych wielkości produkcji pewnych elementów - analiza wrażliwości pozwala określić, w jakich granicach (w jakim przedziale liczbowym) mogą się zmieniać wyrazy wolne (prawostronne ograniczenia), aby w rozwiązaniu optymalnym pozostały dotychczasowe zmienne bazowe, oraz wyznaczyć nowe optymalne wartości tych zmiennych;

c)    współczynników występujących po lewej stronie układu warunków ograniczających (a więc pewnych norm technicznych);

d)    dodanie nowych warunków ograniczających.

W praktyce najczęściej ogranicza się do badania wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany współczynników funkcji celu oraz wyrazów wolnych w ograniczeniach. Informacje te podawane są obok rozwiązania optymalnego przez większość pakietów komputerowych z zakresu programowania liniowego.

Przykład 10. Powróćmy obecnie do przykładu 8 (podrozdz. 1.4). Rozwiązaniem zadania są optymalne rozmiary produkcji dwóch wyrobów (x_x i x₂), dające maksymalny - przy istniejących zapasach surowców - przychód ze sprzedaży wyrobów. Mając rozwiązanie zadania dane w ostatniej tablicy simpleksowej (tabl. 42), określić:

1.    Jak mogą się zmienić ceny każdego z wyrobów, aby rozwiązanie nie uległo zmianie?

2.    Czy i jak rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie, jeżeli:

a)    zasób surowca S_x wzrośnie do 1200,

b)    zasób surowca S₂ zmniejszy się do 2100?

Rozwiązanie

Ad 1. Wrażliwość rozwiązania optymalnego na zmiany współczynników funkcji celu (cen wyrobów) określa się zastępując dotychczasowe ceny Cj wyrażeniem cj = c_} + S_p gdzie Sj jest dopuszczalną zmianą ceny c_p przy jakiej dotychczasowe rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie. Wielkości 5j określa się pamiętając, że w zagadnieniach maksymalizacji wszystkie elementy wiersza zerowego końcowej tablicy simpleksowej muszą być niedodatnie, natomiast w zagadnieniach minimalizacji elementy te powinny być nieujemne.

A zatem dla wyrobu W, przyjmujemy, że c'_l = c_l + S_l. Wstawiając tę wartość do ostatniej tablicy simpleksowej (tabl. 42), otrzymujemy tabl. 47.

Tablica 47

cb	^ci	30 + 5,	20	0	0	0	Rozwiązanie
	Zmienne bazowe		*2	*3	x4	*5
20	^x2	0	1	-1	2/3	0	600
0	*5	0	0	-1,5	0,5	1	300
30 + 5,	*1	1	0	1	-1/3	0	200
	^Zi	30+5,	20	10 + 5,	10/3-1/35,	0	18000
	Cj-Zj	0	0	1 O 7	-10/3 + 1/35,	0

Aby znaleźć />,, należy rozwiązać układ dwóch równań liniowych (tylko te dwa elementy wiersza zerowego zależą od <$,):

-10- <5^0,

-V°+^o.

Pierwsze równanie jest spełnione dla ^ —10, a drugie dla < 10. Tak więc —10; 10), a c₁g<30—10; 30+10), czyli obecne rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie, jeżeli cena wyrobu W_t będzie przyjmować wartości z przedziału <20; 40). Nie zmienią się oczywiście tylko optymalne wielkości vj i x*2, zmieni się natomiast (zwiększy się lub zmniejszy) wartość funkcji celu (O djJJCi).

Analogicznie określamy dopuszczalne granice zmian ceny wyrobu W₂. Przyjmujemy c₂ = c₂ + <5₂ = 20 + <5₂. Niezbędne obliczenia zawiera tabl. 48.

Tablica 48

	^ci	30	20+<52	0	0	0	Rozwiązanie
	Zmienne bazowe		*2	*3	*4	*5
20	x2	0	1	-1	2/3	0	600
0	*5	0	0	-1,5	0,5	1	300
30 + ^	*1	1	0	1	-1/3	0	200
	^Zj	30	20 + c52	1 O	10/3 + 2/352	0	18000
	^CJ~^Zj	0	0	—10 + <52	— 10/3—2/3^2	0

Aby znaleźć S₂, należy zatem rozwiązać układ równań:

— 10 + d₂^:0 ,

10 2_C 3    3^dl^^0,

który jest spełniony dla <5₂e< — 5; 10), a więc c₂e<20 — 5; 20+10). Obecne rozwiązanie optymalne nie ulegnie więc zmianie, gdy cena wyrobu W₂ będzie należeć do przedziału liczbowego <15; 30). Oczywiście, zmiana ceny spowoduje zmianę wartości funkcji celu o d₂x"₂.

Ad. 2. Również badanie wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany wyrazów wolnych warunków ograniczających polega na określeniu ich dolnej i górnej granicy. Wyraz wolny i-tego równania można więc zapisać obecnie jako b- = b_i+e_i, gdzie e_f jest dopuszczalną zmianą i-tego wyrazu wolnego, nie powodującą zmiany bazy optymalnej. Innymi słowy, jeżeli i-ty wyraz wolny zmieni się w granicach +e_i( w bazie optymalnej pozostaną dotychczasowe zmienne decyzyjne, mogą się natomiast zmienić ich wartości. Wartość e_; określa się osobno dla każdego współczynnika, zakładając że

55