img299

b)    wyrazów wolnych w warunkach ograniczających (RHS - right hand side), i a więc zasobów surowców, norm żywienia czy planowanych wielkości produkcji pewnych elementów - analiza wrażliwości pozwala określić, w jakich granicach (w jakim przedziale liczbowym) mogą się zmieniać wyrazy wolne (prawostronne ograniczenia), aby w rozwiązaniu optymalnym pozostały dotychczasowe zmienne bazowe, oraz wyznaczyć nowe optymalne wartości tych zmiennych;

c)    współczynników występujących po lewej stronie układu warunków

ograniczających (a więc pewnych norm technicznych);    |

d)    dodanie nowych warunków ograniczających.

W praktyce najczęściej ogranicza się do badania wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany współczynników funkcji celu oraz wyrazów wolnych w ograniczeniach. Informacje te podawane są obok rozwiązania optymalnego przez większość pakietów komputerowych z zakresu programowania liniowego.

Przykład 10. Powróćmy obecnie do przykładu 8 (podrozdz. 1.4). Roz- ! wiązaniem zadania są optymalne rozmiary produkcji dwóch wyrobów (x, i x₂), dające maksymalny - przy istniejących zapasach surowców - przychód ze sprzedaży wyrobów. Mając rozwiązanie zadania dane w ostatniej tablicy simpleksowej (tabl. 42), określić:

1.    Jak mogą się zmienić ceny każdego z wyrobów, aby rozwiązanie nie uległo zmianie?

2.    Czy i jak rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie, jeżeli:

a)    zasób surowca S, wzrośnie do 1200,

b)    zasób surowca S₂ zmniejszy się do 2100?

Rozwiązanie

Ad 1. Wrażliwość rozwiązania optymalnego na zmiany współczynników funkcji celu (cen wyrobów) określa się zastępując dotychczasowe ceny Cj wyrażeniem cj = Cj + 5_p gdzie Sj jest dopuszczalną zmianą ceny c_p przy jakiej dotychczasowe rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie. Wielkości 8_} określa się pamiętając, że w zagadnieniach maksymalizacji wszystkie elementy wiersza zerowego końcowej tablicy simpleksowej muszą być niedodatnie, natomiast w zagadnieniach minimalizacji elementy te powinny być nieujemne.

A zatem dla wyrobu W, przyjmujemy, że c'₁ = c_i+S₁. Wstawiając tę wartość do ostatniej tablicy simpleksowej (tabl. 42), otrzymujemy tabl. 47.

Tablica 47

Cb	^ci	30 + 5,	20	0	0	0	Rozwiązanie
	Zmienne bazowe		*2	*3	*4	*5
20	*2	0	1	-1	2/3	0	600
0	*5	0	0	-1,5	0,5	1	300
30 + 5,	*i	1	0	1	-1/3	0	200
	^ZJ	30 + 5,	20	10+5,	£ U> 1	0	18000
	^ci~^zi	0	0	'-”0 1 O 7	-10/3 + 1/35,	0

Aby znaleźć i>,, należy rozwiązać układ dwóch równań liniowych (tylko te dwa elementy wiersza zerowego zależą od ń,):

-10- <5,^0,

10 1

Pierwsze równanie jest spełnione dla <5_t ^ —10, a drugie dla ^ ^ 10. Tak więc (i,e< —10; 10), a c₁e<30—10; 30 + 10), czyli obecne rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie, jeżeli cena wyrobu W₂ będzie przyjmować wartości z przedziału <20; 40). Nie zmienią się oczywiście tylko optymalne wielkości vj i x*₂, zmieni się natomiast (zwiększy się lub zmniejszy) wartość funkcji celu (o ó^j).

Analogicznie określamy dopuszczalne granice zmian ceny wyrobu W₂. Przyjmujemy c'₂ = c₂ + S₂ = 20 + ó₂. Niezbędne obliczenia zawiera tabl. 48.

Tablica 48

^cb	^ci	30	20 + <52	0	0	0	Rozwiązanie
	Zmienne bazowe	*1	*2	*3	*4	*5
20	*2	0	t	-1	2/3	0	600
0	*5	0	0	-1,5	0,5	1	300
30 + <5j	xl	1	0	1	-1/3	0	200
	^zi	30	20 + <52	10—ć>2	10/3 + 2/3^2	0	18000
	^ci~^zi	0	0	—10 + <52	— 10/3 — 2/3^2	0

Aby znaleźć <5₂, należy zatem rozwiązać układ równań:

—10+ b₂ ^0,

¹⁰

3    3^°’

który jest spełniony dla (S₂e< — 5; 10), a więc c₂e<20 — 5; 20+10). Obecne rozwiązanie optymalne nie ulegnie więc zmianie, gdy cena wyrobu W₂ będzie należeć do przedziału liczbowego <15; 30). Oczywiście, zmiana ceny spowoduje zmianę wartości funkcji celu o <5₂x).

Ad. 2. Również badanie wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany wyrazów wolnych warunków ograniczających polega na określeniu ich dolnej i górnej granicy. Wyraz wolny i-tego równania można więc zapisać obecnie jako ó/=ó_f + e,-, gdzie e_; jest dopuszczalną zmianą i-tego wyrazu wolnego, nie powodującą zmiany bazy optymalnej. Innymi słowy, jeżeli i-ty wyraz wolny zmieni się w granicach +e_;, w bazie optymalnej pozostaną dotychczasowe zmienne decyzyjne, mogą się natomiast zmienić ich wartości. Wartość £_; określa się osobno dla każdego współczynnika, zakładając że

55