IMG78

37

5.1. Ważniejsze twierdzenia dotyczące przekształcenia Laplace⁹a

I. Twierdzenie o liniowości

Transformata kombinacji liniowej n funkcji równa się sumie transformat poszczególnych funkcji, przy czym dowolną stałą a-, można wyłączyć przed znak transformaty

2. Twierdzenie o transformacie pochodnych

Transformata pochodnej n-tego rzędu z uwzględnieniem warunków początkowych

funkcji fit)

L[f^,(t)] = s^mF(s)-[s-^,f(0)+s'-²f(0)+...+sf'-^2,(0)+f^,’-^,‘(0)lA5M)

gdzie f(0), f'(0 )...f^<n~ⁿ( 0) są to warunki początkowe czyli wartości funkcji i jej

pochodnych dla t=0.

(5.12)

Dla przypadku zerowych warunków początkowych L[ f^(l,)(t)] - sⁿF( s).

3. Twierdzenie o transformacie całki

(5.13)

Jeśli wartość całki przy t —>0* nie równa się zeru czyli

wówczas

Transformata całki n-tego rzędu p^{i n)}f(t), gdzie p jest operatorem różniczkowym

Heaviside’a, wynosi:

L[pt-"'f(t)l = -!;F<s)+-!_zf^,-ⁿ(0'f-"(0').    (5.16)

s    s    s

4. Twierdzenie o funkcji przesuniętej w dziedzinie czasu

(5.17)

L[f(t-t₀)] = e-°^sF(s),

gdzie: to - czas opóźnienia (dowolna nieujemna wartość rzeczywista), przy czym dla Kto mamy ft-t_o)~0.

5, Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej