img051 (24)

182

Najprostsze przyporządkowane funkcje kuliste są przedstawione wzorami:

/>' _=a/i-£² = sin ©, P2 =3^1 -£² =3sin©cos© = (3/2)sin20,

/>₂² =3(l-^²)=3sin²0 = (3/2)(l-cos20)    (11-58)

itd.

Należy uwzględnić wartości /« nie większe od n ponieważ dla m>n

(11-59)

C=o.

Korzystając z można utworzyć dowolne funkcje w przedziale -1 < Ł, <1. Służy do tego warunek ortogonalności

-l \p_n^m{4)P_n^m(t)d4

2(n + m)\

(2n + l)(/i -m)\ ⁿⁿ

(11-60)

Jak wcześniej pokazano, również funkcje trygonometryczne są ortogonalne. Dla omawianego tu przedziału Q<(p<2jz warunki ortogonalności przedstawiają się następująco:

(11-61)

Również funkcje wykładnicze są ortogonalne 2k

(11-62)

|exp(ym^)exp(- jm'(p)d(p = 2n5_mm> o

18.1

Należy pr/y tym przypomnieć, że w wyniku mnożenia skalarnego, zgodnie z definicją funkcji zespolonych, otrzymuje się funkcję zespoloną sprzężoną exp(- jtn'(p) a nie exp[jm'(p).

Zależności (11-61) i (11-62) z powodu tożsamości

exp(± jnup) = cos(nup)± j sin(w^), można uznać za równoważne.

Wzór (11-62) posiada analogiczną zależność ciągłą przytoczoną poniżej

+0C    +0C

| exp(jkx)exp(- j k'x)dx = J* exp[/(& - k')x\clx = 2nó(k - k'). (II-

-cc    -oc

63)

Wzór ten jest podstawą transformacji Fourier'a w postaci wykładniczej. Oprzeć na nim można również definicje funkcji 6

1 ^+oc

ó(k-k')=— \ exp\j(k - k')x] dx.    (11-64)

2 n ^J

-oc

W związku z symetrią funkcji cos i antysymetrią funkcji sin otrzymuje się

1 ^+oc

S(k - k') = — | { cos[(A: - k')x]+ jsin[(A: - £')*]} dx =

-oc

+CC    oc

= — f cos[(& - k')x]dx = — f cos[(A: - k') x] dx.

2 7T ^J    n x

-oc    0

Z równań (11-60) i (11-61) wynika również ortogonalność funkcji iloczynowych tzn. funkcji sferycznych. Np.