img051 (30)

56

/(**)= O,    (3.65)

a więc wtedy i tylko wtedy, gdy jc* jest pierwiastkiem równania (3.59).

Wybór odpowiedniej macierzy funkcyjnej M(-) (być może stałej) przy sprowadzaniu układu równań algebraicznych (3.59) do postaci (3.58) z wykorzystaniem przekształcenia (3.60) ma podstawowe znaczenie, jeżeli chodzi o zapewnienie zbieżności ciągów iterowa-nych. Ma on również wpływ na szybkość zbieżności otrzymanych ciągów iterowanych do punktów będących rozwiązaniami.

Gdy dany jest układ równań algebraicznych (3.58), można go sprowadzić do układu równań jak w (3.59), poprzez na przykład przekształcenie do postaci

P(x)-(f{x)~ x)=0 ,    (3.66)

gdzie /*(•) jest dowolną macierzą n x n -wymiarową o elementach będących funkcjami zmiennej a: przyjmującymi wartości w R, nieosobliwą dla punktów xe S*_F (punktów będących punktami stałymi odwzorowania F(-)).

Postać (3.58) układu równań wiąże zagadnienie wyznaczania rozwiązań z zagadnieniem wyznaczania punktów stałych odwzorowania F(-), natomiast postać (3.59) układu równań wiąże zagadnienie wyznaczania rozwiązań z zagadnieniem wyznaczania zer odwzorowania^-) (mówi się wtedy o wyznaczaniu pierwiastków równania).

Konstrukcja ciągu kolejnych przybliżeń w algorytmie iteracji prostej dla układu równań algebraicznych zapisanych w odpowiedniej dla tego algorytmu postaci (3.57), (3.58) jest następująca.

Krok 0

Ustala się wartość początkową jt(₀) wektora rrR" .

Krok 1

Oblicza się współrzędne wektora F(x^))- Otrzymany wektor (punkt) w R" oznacza się jako*_(l).

Krok 2

Oblicza się współrzędne wektora F(X(p). Otrzymany wektor (punkt) w R" oznacza się jako *₍2).

Krok j > 1

Oblicza się współrzędne wektora F(x^i)). Otrzymany wektor (punkt) w R" oznacza się jako .*(,■).

Krok7+1

Oblicza się współrzędne wektora F(x_{j)). Otrzymany wektor (punkt) w R” oznacza się jako *(/+!).

Obliczenia należy zakończyć, jeżeli różnica między wektorami xy+\) i x^ jest mniejsza niż założona wartość dopuszczalna błędu wyznaczenia współrzędnych wektora będącego roz-