img062 (22)

67

67

iie pewnego ■; nania(3.77) I

(3.91)    j h względem

(3.92)    I

(3.93)    8

.77) zostaje 1 arunki

(3.94)    j

(3.95)

.ończone lub iń algorytmu 1

gorytmujest 1

dza się brak J ustalany jest mawiana dla

a algorytmu

(3.96)

postaci

(3.97)

6), ponieważ i kroku k + 1

(3.101)

uncji wymaga około trzech razy więcej działań mnożenia i dzielenia niż rozwiązywanie ^Liidu n równań z n niewiadomymi x_{l (jt+1})    x_2i(_ł+1)-x₂,(*),    -x_B>(_t) [6].

Jak wynika z przedstawionego opisu, podstawowym elementem algorytmu Newtona-’ur>h$ona jest realizacja ciągu kolejnych przybliżeń danej funkcji/[■) występującej w rozkazywanym równaniu (3.77) odpowiednią funkcją afiniczną

^R" 9 -v -> /(.v_(A.₎)+/_/(x_(jt)).(x-x_(A.₎),    (3.98)

■ każdym kroku k+\ iteracji. Punkt początkowy jc₍₀) zostaje zadany, natomiast kolejne r-ńry x₍2), •••,.%), ••• otrzymuje się jako wynik rozwiązania odpowiedniego liniowe-z: równania aproksymującego. Równanie aproksymujące w kroku H 1 ma postać

/(*(*))+ ^Jfi^x(k))' i^x - ^x(k ))= 0.    (3-99)

_r _zw spółrzędne punktu x_ik) są dane jako wynik obliczeń wykonanych w kroku poprzednim.

Z obliczeniowego punktu widzenia realizacja działań algorytmu Newtona-Raphsona es: następująca.

Ustalony zostaje pewien punkt początkowy x₍₀) dla iteracji. Wybór punktu.%) jest tym t.;rr.’stniejszy, im bliżej rozwiązania jest on zlokalizowany. Dla korzystnego ustalenia *> spełrzędnych punktu początkowego x_m można wykorzystać znane w literaturze twier-żsnia o lokalizacji pierwiastków równań algebraicznych [21]. Ponadto, jeżeli układ rów-ur 3.76) opisuje stan pewnego systemu fizycznego, to dodatkowe informacje o lokalizacji nerwiastków (to znaczy o ich przybliżonym położeniu) wynikają z opisu systemu. Na my siad, gdy jest to układ równań węzłowych lub obwodowych lub układ równań hybry-a: *y opisujący sieć elektryczną w stanie spoczynku [6], to można wykorzystać dla wstęp-ry:h oszacowań równania Kirchhoffa sieci (są to równania liniowe) oraz na przykład in-' :macje o prądach w złączach diod spolaryzowanych zaporowo.

W następnym kroku obliczeń należy wyznaczyć macierz Jacobiego Jf(x_m). W tym :e/j należy obliczyć n² pochodnych cząstkowych df_i(x^'_j)/8xj, i,j = 1, 2, •••, n. Jest to naj-miziej pracochłonna część obliczeń. Wartości pochodnych wyznaczane są na ogół w sposób przybliżony na podstawie wzoru różnicowego.

Z układu równań liniowych

^Jf l*(o)) ■ U(1) - *(o)) = -/(*(o))    (3-106)

*y znaczany jest wektor X(\) — jc₍o), skąd następnie otrzymuje się współrzędne wektora x₍d rerwszego przybliżenia poszukiwanego rozwiązania danego równania (3.77). W celu wymruczenia rozwiązania układu równań (3.100), jak też układów równań liniowych otrzymywanych w kolejnych krokach iteracji wykorzystuje się zwykle algorytm eliminacji Saussa lub algorytm dekompozycji LU, (rozdział 2).

W drugim kroku realizacji algorytmu wyznaczana jest numerycznie macierz Jacobiego J--r,i)), rozwiązywany jest układ równań liniowych

•^//(*(1)M*(2)-*(!))=-./1*(1)) ,