img064 (23)

69

69

wektora x₍₂₎ I :wnym kroku I

(3.102)    I

(3.103) - | jako przybli- 1

mą spełnione I wego x₍o) dla

ly po wyzna-e pierwiastki

'czne wyzna- I zmniejszenia iw złożonych i:

iczeń według 1

(3.104)    I

vagę na to, że | na posiadany i

(3.105)    I

(3.106)    I

:dących funk- 11 któw x będą-

(3.107)    ;

I

u zachowania f

(3.110)

ker/(-)=5f    (3.108)

Pkztsłt na bezpośrednie wykorzystanie algorytmu iteracji prostej w celu wyznaczenia ttt : :cnych wartości rozwiązań danego równania (3.77).

korzystając z formuły rekurencyjnej algorytmu iteracji prostej dla równania (3.77) sansarego w postaci równoważnej

x = x-M(x)-f(x),    (3.109)

T*. .--'.łrieniu założenia (3.108)) otrzymuje się następującą formułę rekurencyjną ([6]) itrnn.racą ciąg kolejnych przybliżeń

x(₀) eR”,

^x(k₊1) = *(*) - ^(*(*))- /(*(*))» •

k = 0,1, 2, •••.

Łjtry '■-y bór macierzy funkcyjnej A/(-) powinien zapewnić identyfikację całego zbioru HErw-acur. równania (3.77) jako zbioru punktów będących granicami zbieżnych ciągów _r otrzymanych zgodnie z formułą (3.110) algorytmu iteracji prostej zastosowałeś.: « tóuesieniu do równania przekształconego (3.109), przy odpowiednio ustalonych Maruu: :• czątkowych dla iteracji. Oczekuje się przy tym możliwie szybkiej zbieżności sągew . m różnych od zera promieni przyciągania dla otrzymywanych ciągów iterowa-~ .-c m - c : nnkty będące rozwiązaniami.

* t rytmie Newtona-Raphsona macierz M(x), x e R”, definiuje się jako macierz mmm-r.cc Jo macierzy Jacobiego Jj(x) odwzorowania^-)- To znaczy

M(x) = Jf(x), dla x e R”,    (3.111)

rrr założeniu, że funkcja^-) ma nieosobliwą macierz Jacobiego dla wszystkich x e R” . fcwraanie (3.109) będące przekształconym równaniem (3.77) przyjmuje teraz postać

x = x-Jf(x)- f(x) , dla x e R",    (3.112)

i na w literaturze nazwę równania Newtona-Raphsona.

Jak nietrudno zauważyć, wymaganie, aby det J/(x) ^ 0 dla wszystkich x e R”, jest •ne dla bardzo ograniczonej klasy funkcji/(-). Nie jest ono na przykład spełnione już tt finkcji jednej zmiennej x e R będącej wielomianem stopnia wyższego niż jeden. Dla-sg: też w praktyce w opisie algorytmu Newtona-Raphsona zakłada się na przykład, że waruje*. iet J_f(x) * 0 jest spełniony w pewnym podzbiorze otwartym w R". W rozważaniach ciulnych wystarczy nawet założyć nieosobliwość macierzy J_f(x) w punktach x e ker/[■).

Z przedstawionego poniżej twierdzenia 3.7 wynika, że formuła rekurencyjną (3.96), 3 i*^-' algorytmu Newtona-Raphsona zapewnia zbieżność ciągu kolejnych przybliżeń do --związania danego równania (3.77) dla każdego punktu początkowego dla iteracji położo-■rao w dostatecznie małym otoczeniu rozwiązania. Ponadto szybkość zbieżności jest co tt mniej kwadratowa. Algorytm Newtona-Raphsona ma więc znacznie korzystniejsze «• mściwości niż algorytm iteracji prostej bez dokonywania dodatkowego przekształcenia