img073 (24)

78

78

(4.1

def | A X A = sup—i,—jj-

.wO X ,

Dowodzi się dla niej równości

A

= max

1< j<n

(4.1

2. Norma H-H^ macierzy A zdefiniowana jest zgodnie z (4.15) wzorem

def | A x | L4 = sup —n-—

(4.

xx() X

Dowodzi się równości

IA II = max > a

' ^llco '

(4..

j=1

3. Norma ||-||₂ macierzy^ zdefiniowana jest wzorem

(4.,

i u ^def U ^x ?

UL = sup-

Zachodzi dla niej równość

| A | = max -Jx ,

/.eSpcctf/fi-zl)

(4..

gdzie we wzorze (4.22) Spect (A^T A) oznacza zbiór wartości własnych nxn wymiaro\ macierzy A^T A, to znaczy zbiór tych wszystkich liczb X, dla których ma miejsce

(4-

det(zr⁷ A-X /)= 0 ,

gdzie / jest n x n wymiarową, macierzą jednostkową. Nietrudno wykazać [2, 16], że n cierz kwadratowa o wymiarze n ma dokładnie n wartości własnych, przy czym niekti spośród nich, być może wszystkie, mogą być sobie równe. Ponadto dowodzi się, że war ściami własnymi rzeczywistej macierzy symetrycznej są liczby rzeczywiste. Ponieważ w macierz A^T A jest macierzą rzeczywistą i symetryczną, więc elementami zbioru Spect(^' są liczby rzeczywiste. Wykazuje się następnie, że są one liczbami dodatnimi [7].

Ostatnia z norm |^4||₂ macierzy jest znacznie trudniejsza do obliczenia niż dwie po: stałe. Nosi ona nazwę normy spektralnej i jak wynika z dalszych uwag - ma duże z: czenie dla rozważań teoretycznych. Zamiast normy spektralnej macierzy wykorzystyw; będzie też inna norma, łatwa do wyznaczenia i zgodna z normą euklidesową (4.6) wektc Jest niątzw norma euklidesową macierzy, zdefiniowana dla m x n wymiarowej macie: A o elementach ay, i = 1, 2,    , m, j = 1, 2,    , n, wzorem

Vⁱ⁼¹ 7=1