img155

6.5. Miary położenia i rozproszenia wyników pomiarów

Jeśli wyniki pewnej serii pomiarów opisać można rozkładem normalnym, to oszacowanie ich niepewności związane jest z koniecznością obliczenia parametrów tego rozkładu. W tym celu wyznaczamy:

-    liczbę, wokół której skupiają się wyniki (miarę położenia),

-    liczbę, opisującą rozrzut błędów przypadkowych (miarę rozproszenia). Omawiając rozkład normalny oceniono, że wszystkie wyniki skupiają się

wokół „wartości prawdziwej” X, która powinna być najlepszą miarą położenia. Niestety, wspomniana wartość jest zawsze nieznana. Pojęcie „wartość prawdziwa” jest dużym uproszczeniem myślowym, pojęciem teoretycznym o dużym znaczeniu w teorii błędów, analogicznym do pojęcia bezwymiarowego punktu w matematyce. W praktyce jako miarę położenia stosujemy najczęściej średnią arytmetycznąz próbki opisaną równaniem (6.10). Można bowiem udowodnić, że dla dostatecznie dużego ale skończonego zbioru wyników o liczebności N i rozkładzie normalnym, średnia arytmetyczna jest najlepszym przybliżeniem wartości prawdziwej X.

N

(6.10)

gdzie: x_t - wynik kolejnego pomiaru,

N- liczebność próbki.

Przez użyte powyżej określenie liczebność próbki rozumieć należy zbiór wszystkich wyników uzyskanych w pomiarach i poddanych analizie statystycznej. Wspomniany zbiór jest częścią wszystkich możliwych wartości obserwowanej wielkości tworzących tzw. populacją generalną. Do rzadziej stosowanych miar położenia zaliczyć należy: średnią geometryczną z próbki, modę oraz medianę. Zastosowanie przytoczonych powyżej miar położenia nie będzie szerzej omówione ze względu na ograniczoną objętość opracowania.

Teoretyczną miarą rozproszenia błędów przypadkowych, właściwą dla nieskończenie wielu pomiarów jest szerokość rozkładu normalnego cr występująca we wzorze (6.8). Ponieważ liczba pomiarów jest zawsze ograniczona, jako podstawowej miary rozproszenia używamy w praktyce odchylenia standardowego skorygowanego danego zależnością:

(6.11)

Oznaczenie o_x nie jest przypadkowe. Można bowiem udowodnić, że dla dostatecznie wielu pomiarów wartość odchylenia standardowego o_x jest najlepszym przybliżeniem szerokości rozkładu normalnego o ze wzoru (6.8).