IMG�69 (2)

1.5. Liczbowa prezentacja wyników pomiaru

Liczbami dokładnymi mogą być wyrażane tylko te dane doświadczalne, które powstają w wyniku zliczania Wyniki pomiaru wielkości ciągłych są liczbami przybliżonymi, choćby dlatego że nie potrafimy rozróżniać dowolnie małych różnic lub wykryć dowolnie małych zmian wielkości ciągłych Dlatego liczby otrzymywane z pomiarów, na które odwzorowujemy wielkości fizyczne, nie mogą tworzyć (i nie tworzą!) zbioru ciągłego, są dyskretne, stanowią tylko część liczb rzeczywistych Mówimy, że przy danych środkach technicznych dysponujemy określoną rozróżnialnością (z obca nazywaną dyskryminan-cją), co oznacza, że istnieje jakaś mata cząstka wielkości - kwant wielkości - którą jesteśmy w stanie jeszcze dostrzec (albo którą chcemy dostrzegać), a mniejszej niż kwant już nie potrafimy lub nie chcemy dostrzegać. W odwzorowaniu liczbowym, pozycyjnym (np. dziesiętnym albo binarnym) taka wielkość-kwant odpowiada jednostce na najmniej znaczącej pozycji zapisu, a liczbę przybliżoną moglibyśmy z takiego punktu widzenia uznawać jako wynik zliczania rozróżnianych kwantów. Liczbę przybliżoną, którą otrzymujemy z pomiaru, możemy więc traktować jak liczbę kwantów rozróżnianych w danym pomiarze. Im więcej zliczonych kwantów przedstawia liczba, tym prezentuje większą rozdzielczość, jak mówimy w miernictwie, i tym samym spełnia konieczny warunek większej dokładności, ale nie jest to warunek wystarczający.

Przykład. Liczba 0.00J prezentuje mniejszą rozdzielczość niż np. liczba 25, bo w pierwszej zliczonych jest tylko 5 kwantów po 0.001 każdy, a w drugiej 25 kwantów po I każdy. Można powiedzieć inaczej, że nieokreśloność liczby drugiej jest mniejsza: jako liczba przybliżona powstała bowiem jakby z zaokrąglenia, które jest mniejsze od ±1 kwantu. W podanym przykładzie nieokreśloność pierwszej liczby wynosi 20% jej wartości, w drugim przypadku tylko 4% jej wartości. Zauważmy, że nic nie mówiliśmy tu o wielkości kwantu, lecz tylko o jego udziale w wielkości liczby przybliżonej wyrażającej liczbę kwantów Na tej samej skali kwant pierwszej liczby byłby bardzo mały (0001), a kwant drugiej 1 000 razy większy Rozróżnialność charakterystyczna dla pierwszej liczby jest znacznie lepsza niż dla drugiej, gdy rozdzielczość zachowuje się odwrotnie: dla drugiej liczby jest lepsza (większa). Warto te różne i przeciwstawne właściwości liczb dostrzegać i nie mieszać rozróżnialności i rozdzielczości. Zauważmy leż, że rozpatrujemy tu tylko dokładność wynikającą wyłącznie z zapisu liczby przybliżonej, co pomiarowo oznaczać może zdolność rozróżniania zmian wielkości mierzonej, natomiast taka liczba przybliżona - jako ewentualny wynik pomiaru - może być mniej dokładna z innych, fizycznych powodów; jej nieokreśloność z tych innych powodów może wynosić np wiele kwantów

Na podstawie przedstawionego rozumowania zaproponować można uproszczony sposób charakteryzowania dokładności liczb przybliżonych. W danym przypadku dokładność wyraża sią liczbą cyfr znaczących zapisu liczby przybliżonej, która odpowiednio odczytana wyraża liczbę kwantów (trzeba zignorować kropkę dziesiętną i zera na początku liczby dziesiętnej). Dokładniejszy zapis ma ta liczba przybliżona, która ma więcej cyfr znaczących. Cyframi znaczącymi jakiejkolwiek liczby są cyfry na dowolnej pozycji z wyjątkiem zer na najwytszych pozycjach liczb dziesiętnych Na przykład liczba 0.0017 ma dwie cyfry znaczące, liczba 10.07 ma ich 4, a liczba 0.010020 ma ich 5. Pierwszej zapis jest najmniej dokładny, ostatniej - najdokładniejszy, bo ma najwięcej cyfr znaczących. Przyjmuje się przy uproszczonym sposobie zapisu dokładności, że cyfra na najmniej znaczącej pozycji jest cyfrą pewną w tym sensie, że jej błąd co do bezwzględnej wartości jest nie większy niż 0.5 jednostki na tej najmniej znaczącej pozycji, co wynika z reguły zaokrąglania. W tym uproszczonym systemie stosowano w miernictwie dużej dokładności pisanie następnej cyfry, już niepewnej, ale pisano obniżając ją o pól wiersza, np. 17.07* oznaczało, że ostatnią cyfrą było 4, ale była to już cyfra niepewna.

W miernictwie do charakteryzowania dokładności wyniku pomiaru nie stosuje się współcześnie uproszczonego sposobu zapisu liczb przybliżonych. W miernictwie liczbę przybliżoną przedstawia się za pomocą pary liczb przybliżonych pierwsza liczba jest daną

liczbą - wynikiem pomiaru, a druga liczba przybliżona charakteryzuje dokładność tej pierwszej. Stosuje się dwa warianty zapisu. W pierwszym wariancie (1.2) do liczby przybliżonej wyrażającej wynik dopisuje się „± " i liczbę wyrażającą wartość przedziału nieokreśloności Ten wariant zapisu ma sens tylko wówczas, gdy liczba wyrażająca nieokreśloność rozumiana jest jako pewien symetryczny przedział i tylko wówczas.

(1.2)

liczba przybliżona ± przedział nieokreśloności

W miernictwie ten przedział ± P, który określa granice nieokreśloności (przedstawiany też za pomocą liczby przybliżonej), jest liczbową prezentacją granic błędu wyniku pomiaru (i ma swoją nazwę), gdy pierwsza liczba przybliżona tej pary jest wynikiem pomiaru. Taki zapis wyniku pomiaru w miernictwie jest fizycznie sensowny, gdy obie liczby wyrażają tę samą wielkość fizyczną w tych samych jednostkach (dopisywanie liczby ze znakiem ± wyrażonej np. w % jest niesensowne choć praktykowane).

Drugi wariant zapisu charkteryzującego dokładność liczby przybliżonej - stosowany przede wszystkim w miernictwie najwyższej dokładności - polega rui podaniu danej o średniokwadratowym rozrzucie jej możliwych wartości Wówczas liczba charakteryzująca dokładność liczby przybliżonej nie wyraża granic błędu, bo nie ma sensu nadawania jej interpretacji przedziałowej. Rozumuje się bowiem tak skoro liczba przybliżona jest nieokreślonej wartości w jakimś zakresie, to możliwe jej wartości mogłyby się realizować -choćby na zasadzie domniemania - losowo, więc jako takie charakteryzowałyby się określonym, średnim rozrzutem wyrażającym tę losowość Z probabilistyki wiadomo, że najbardziej uniwersalną liczbową miarą rozrzutu możliwych wartości zmiennej losowej jest wariancja albo równoważnie pierwiastek kwadratowy z wariancji - odchylenie standardowe (odchylenie średniokwadratowe, rozrzut średniokwadratowy). Liczbę wyrażającą miarę odchylenia średniokwadratowego nie warto interpretować jako przedział i dlatego me powinno się dopisywać do liczby przybliżonej ze znakiem ±. Po prostu podaje się ją w objaśnieniu interpretującym dokładność wyniku pomiaru i jako taka charakteryzuje dokładność wyniku.

Zapis liczb składających się na parę i łącznie prezentujących wynik pomiaru powinien być skoordynowany co do liczby cyfr znaczących. Liczbę przybliżoną charakteryzującą dokładność zapisuje się zwykle jako liczbę o jednej cyfrze znaczącej wychodząc z założenia, że charakteryzowanie dokładności samo w sobie nie jest dokładne, a rozdzielczość jednocyfrowa jest zadowalająca. Tylko dla bardziej dokładnych pomiarów liczbę wyrażającą nieokreśloność zapisuje się za pomocą większej liczby cyfr znaczących. Natomiast liczbę prezentującą wynik pomiaru zapisuje się z taką liczbą cyfr znaczących, aby ostatnia wystąpiła na tej pozycji znaczącej, na której występuje cyfra znacząca liczby charakteryzującej dokładność, np. zapis 1.027 ± 0.004 lub zapis 273±9 jest zgodny z tą regułą.

Surowe wyniki pomiaru i wstępne oceny dokładności zapisuje się z zasady jako liczby o większej liczbie cyfr znaczących, niż jest to uzasadnione, ponieważ celowe jest odczytywanie wskazań przyrządów i wykonywanie rachunków pośrednich z nieco lepszą nominalną dokładnością, np. o jedną cyfrę znaczącą więcej, niż wynosi dokładność faktyczna. W ten sposób zmniejszamy w końcowym wyniku udział błędów rachunkowych, co jest pożyteczne, a mało kosztuje W końcowej fazie opracowania wyniku pomiaru należy odrzucić cyfry znaczące nieuzasadnione faktyczną dokładnością. Przeprowadzamy w tym celu tzw. zaokrąglanie. Reguła zaokrąglania opiera się na postulacie, że średni błąd zaokrąglania (w toku danych rachunków) powinien w granicy dążyć do zera Oznacza to regułę „zaokrąglania symetrycznego”: zaokrąglamy w górę, gdy odrzucane pozycje mają

23