p1080122

w tysiące (po 10) itd.. następnie porządkujemy otrzymane ..wiązki" od najmniejszych do największych tak, by w żadnej grupie nie było więcej niż 10 i w końcu opisujemy za pomocą cyfr. zaczynając od największych wiązek. Powszechność dziesiątkowego systemu liczenia jcsLusprawicdli winna faktem, że mimv-tP paków u tak. Liczba 10 jest więc wyróżniona bardziej z powodów anatomicznych, a nic matematycznych. Podobnie jest z systemem piątkowym (liczba palców u jednej ręki) i dwudziestkowym (liczba palców u rąk i nóg). Gdybyśmy liczbę 10 zastąpili na przykład liczbą 3. wówczas mielibyśmy do czynienia z rzędem jednostek, trójek, dziewiątek, dwudziestek siódemek itd. Byłby to trójkowy system pozycyjny.

Ludzie używali dotychczas różnych systemów liczenia. Na przykład w starożytnym Babilonie używano systemu sześćd/iesiątkowego, stosowanego dzisiaj w rachubie czasu, w mierzeniu kątów. W Stanach Zjednoczonych ciągle jeszcze stosuje się niedziesiątkowy system miar. np. jard dzieli się na 3 stopy, a stopę na 12 cali.

W chwili obecnej, ze względu na zastosowanie w maszynach matematycznych. szczególne znaczenie ma system dwójkowy, w którym każdy ¹ następny rząd powstaję przez podwajanie liczby jcdnostck.fzcdu poprzedniego. Występują więc w nim kolejno jedności, dwójki, czwórki, ósemki, szesnastki itd. Do zapisywania liczbwtym systemie służą tylkodwiccyfry-Oi I. Na przykład mamy 3 elementy, to znaczy mamy jedną dwójkę i jedną jedność, a zatem liczbę 3 możemy zapisać jako 11 w systemie dwójkowym: 3= I l_cł,= I *2+1 • I (jedna dwójka i jedna jedność). Podobnie liczba 4 rozłoży się na jedną czwórkę, zero dwójek i zero jedności: 4**IQ0_a,= l -4 + 02+0-1. Analogicznie:

S=10l_m=-1-4+0-2+11.

6-110,,,= 14+12+0 1.

Zrozumienie pojęcia dziesiątkowego systemu pozycyjnego jest podstawą p-wównywania liczb, rozszerzania zakresu liczbowego, pisemnego dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.

Dotychczasowy program nauczania matematyki dla szkół specjalnych

przewiduje zapoznanie uczniów-klas I -111 z liczbami naturalnymi pierwszej setki

wraz z czterema podstawowymi działaniami arytmetycznymi. Jest to materiał bogaty i przerastający możliwości wielu uczniów. Już w klasie I dziecko powinno opanować liczbypicrwszcjdzicsiąłki, a w klasiriy liczyćdo tysiąca: Zestawiając te wymagania z możliwościami dzieci w zakresie prostych aktywności, widać wyraźnie sprzeczność. Aby dziecko poznało liczby pierwszej dziesiątki w aspekcie kardynalnym, porządkowym, miarowym i algebraicznym, musi być zdolne do znacznie bardziej precyzyjnego rozumowania niż w trakcie rozumnego naśladowania Potrzebne są tu bowiem kompetencje intelektualne, które pozwalają na konstruowanie zbioru o tylu elementach, o ilu mówi nauczyciel, dostorganśc prawidłowości i analogii (np. w tych zbiorach jest po równo, w innych jest mniej lub więcej), schematyzowanie i uogólnianie. Poznanie liczb drugiej dziesiątki jest procesem bardziej skomplikowanym. Obok czterech aspektów pojęcia liczby naturalnej, w większym stopniu korzysta się /. ilustracji schematycznych. Wykorzystuje się także analogię do działań w zakresie pierwszej dziesiątki, wprowadza się liczby drugiej dziesiątki, porządek w lym zbiorze i działania najpierw bez przekroczenia progu dziesiątkowego typu 12+4. 15+3. Działaniu z przekroczeniem progu dziesiątkowego uzasadnia się właściwie już dedukcyjnie. Aby zrozumieć zakres występujących tu złożonych czynności intelektualnych, trzeba uświadomić sobie, że dziecko, dodając np 8+7, korzysta z wcześniejszych wiadomości i przeprowadza proste wnioskowanie. Musi uświadomić sobie, że 7=2+5 i 8+2-10 ora/ 10+5=15. Korzystając z tych przesłanek, wykonuje kolejno następujące operacje: 8 + 7«8+(2 + 5)=(8 + 2)+5=IO+5«l5.

Rozwiązując takie proste zadanie, musi już umieć wykonywać ze mo-zumięnjęm.operacje wzajemnie odwrotne (rozkładać liczbę na dwa składniki celowo dobrane: 7=2+5 i wykonać dodawanie dwóch składników: 8+2 = 10 oraz 10+5 = 15) i postępować tak, jakby posługiwało się prawem łączności,choć prawa tego jeszcze nic uświadamia sobie.

Zbyt trudny byłby dla dziecka zapis ukazujący łączenie w nawias interesujących nas składników. W analizie rachunku musimy to jednak uwzględnić, aby uświadomić sobie, ile operacji zawiera tak - wydawałoby się - proste działanie: 8+7=15. Łatwiej zapewne byłoby dziecku wykonać to dodawanitna jŁOnktCtach-pacz doliczanie (i tak przede wszystkim dzieci chcą to wykonywać), ale jeśli uczniowie mają zapoznać się z liczbami drugiej dziesiątki, następnych dziesiątek, pierwszej setki, musimy pomóc im zrozumieć zasady konstrukcji kolejnych zbiorów liczbowych - bez lego nie będzie możliwe wykonanie działań w większym zakresie liczbowym. Uczeń klasy V. którego zapytano, ile to jest: 342 + 27. zakłopotany stwierdził ..To musu! bym aż tyle kresek narysować'" (Siwek 1992. s 23). Reakcja ta świadczy o tym. że dziecko jest zdolne posłużyć się tylko najprostszą metodą obliczania sumy, jaką jest doliczanie, natomiast nie rozumie jeszcze zasad dziesiątkowego systemu pozycyjnego i nic jest zdolne do przeprowadzenia zbyt trudnych dla niego operacji. To skomplikowane rozumowanie (zgodnie z programem) ma być wykonane przez dzieci na reprezentacjach symbolicznych, podczas gdy uczniowie szkól specjalnych tak naprawdę są na poziomic manipulacji konkretami. Każde zapisane działanie to synteza symboliczna, którą dziecko powinno umieć przekształcać. Jeżeli dziecko jest dopiero na poziomic przekształcania działań wykonywanych na konkretach, to musi zgromadzić wiele doświadczeń, nim osiągnie poziom reprezentacji symbolicznych. Wszystko to wymaga czasu, specjalnych zabiegów i ćwiczeń (Siwek 1992).