Rozdział II Funkcje trygonometryczne Zad 2 175

1G2. Wykaż, że wartość wyrażenia:

cos²(a-f/?)-{-cos²/3—2 cos a cos/3* cos (a-f-/?) nie zależy od jJ.

163.    Wykaż, że jeśli cos (a-|-/?) = a i cos(/?+y) = 6 i cos(y-}-a) = c oraz a+yS-fy = 180°, to a²-\-b²-\-c²—2abc — 1.

164.    Mając dane: sina-j-sin/1 = m i cosa-fcos/? = n, oblicz:

a) cos(a+yS),    b) cos (a—/?),    c) sin(oc-j-/?).

§ 7. Twierdzenie sinusów, cosinusaw i twierdzenie Pitagorasa — zadania

165.    W trójkącie ABC marny dane: <£J3 = 60° i <£(7 = 75°. Oblicz stosunek boków AĆ i AB.

166.    a, /?, y oznaczają kąty trójkąta, zaś a,b,c długości przeciwległych boków. W podanej niżej tabelce uzupełnij brakujące dane:

a	b	c	a	0	y
	10V2		30°	45°
Vl8			30°	75°
V3	3	2\/3	30°
3V2	2A/3	3-V3
14,5				48° 40'	04° 20'
	13,4	16,3			70°

167.    Długości dwóch boków równolegloboku są odpowiednio równe 5 i 8. Kąt między nimi wynosi 60°. Oblicz:

a)    długości przekątnych równolegloboku,

b)    pole równolegloboku.

168.    Większa podstawa trapezu ma długość a, mniejsza b.

Ką^ ostre tego trapezu wynoszą odpowdednio 30° i 45°. Oblicz:

a)    wysokość trapezu,

b)    długość przekątnej przeciwległej kątowi 45°.

I(>9. Kąt ostry równolegloboku wynosi 60°. Stosunek kwadratów

przekątnych jest równy boku.

19

Oblicz stosunek boków równoległo-

170. Kąt między dwoma wektorami u i v jest równy 105°, a długości tych wektorów wynoszą odpowiednio 1 i ^/2. Oblicz długości wektorów:

a)    u—v,

b)    2u-\-v,

c)    u-\-2v,

d)    2uĄ-1v.

171.    W trapezie równoramiennym ABCD, w którym AD = BC

AB 8

i AB\\CD, mamy dane: <£DAB = 60°, BD — 14 i = — . Oblicz:

a)    długości boków AD, AB i CD,

b)    iloczyn skalarny wektorów: AD-\-BA i ADĄ-DC,

c)    kąt pod jakim przecinają się przekątne AC i BD.

172.    Wykaż, że jeśli w trójkącie ABC kąt CAB nie jest prosty, to

asin^O    a sin<£2?

tg<M    = -tttt" j g&ńe a, b, c oznaczają

b—acos<£C    c—acos<£2?

długości boków trójkąta przeciwległych odpowiednio kątom:

<M, i <£C7.

173.    Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z jego bokami kąty a i p (kąty o wspólnym wierzchołku). Oblicz stosunek pól trójkątów, na jakie ta przekątna podzieliła trapez.

174.    W trójkącie ABC, miary kątów A i <£2? są do siebie w stosunku 2:1. Boki AB i AĆ mają odpowiednio długości c, b. Wyznacz długość boku BC.

175. Kąt ostry równolegloboku jest a. Odległości punktu przecięcia się przekątnych równolegloboku od jego boków są odpowiednio równe m, n. Wyznacz:

39