38644 Rozdział II Funkcje trygonometryczne Zad 5c d 161

a    /5

ctg—I-ctg—

c)

°2    2    siny

sm a

y

ctg-+ctg-

140. Wykaż, że: sin4 7° -f- sin 61⁰—sin 11⁰—sin 2 5° = cos7°. 147. Sprawdź tożsamości:

sin a-f-sin/?    /?—a

_a)    -- = ctg-——,

cos a—cosp    2

sin(a+/S)+sin(a—0)

b)    -, , „7":-, •— = tga,

c)

cos (a-f-jS) -{- cos (a—/5) sin a+sin 3a-j-sin 5a

= tg 3a.

cos a -f cos 3a + cos 5a 148. Stosując zasadę indukcji wykaż, że:

a) sinoc+sin2a+sin3a-|- ... -j-sin&a

. kv. , (/<;-}-1 )oc

sm--sin —-

2 2

JceN,

sm

, Jc<x    (&-j-l)a

Sili— • cos-

2 2

b) cosa+cos2a+cos3a+ ... -j-cos&a ---, k eN,

2

sm

a a a c) cos —• cos—-cos-—* ' 2 2² 2³

■cos— =

sm a

, n eN.

2ⁿ■ sin

149.    Wykaż, że jeśli: a, /?, y oraz a+/?-f-y są kątami ostrymi, to sin(a-f/3+y) < sin a -j-sin j] -f- sin y.

150.    Wykaż, że dla każdego a i dla każdego całkowitego n prawdziwy jest wzór:

1

sin (a-\-n' 180°) • cos {%' 180°—a) = — sm2a.

2

sina

151.    Wykaż, że jeśli a, /?, y są kątami trójkąta i ⁼ ^^cosy> ^t0 trójkąt jest równoramienny.

sina-f-sin/S

cos a+cos/?

Wykaż, że jeśli a, /?, y są kątami trójkąta i—-; — - — siny,

to trójkąt jest prostokątny. Wykaż, że jeśli w trójkąc AG — b, AB — c, to sin

153.

Wykaż, że jeśli w trójkącie ABC kąt ACB jest prosty i BC = a,

B-A _ fr—g

2 cV 2

154.

Wykaż, że jeśli a, /?, y są kątami trójkąta, zaś a, 6, c długościami odpowiednich boków, to: a²—b²    sin (a—/?)

c²    siny

155.    a, /?, y są kątami trójkąta spełniającymi warunek

sin²a+sin²/?—cos(a—/?)-cosy—cos²y — —. Oblicz kąt y.

4

156.    a, /? są dwoma kątami trójkąta. Zachodzi przy tym związek: sin (a—/?) - sin²a—sin²/?. Jaki to trójkąt?

157.    a, /? są dwoma kątami trójkąta takimi, że tg a — 1,5, tg/? = 5. Znajdź trzeci kąt.

158.    Wykaż, że jeśli a, /?, y są kątami ostrymi takimi, że: tg a = —

i tg/? = i, i tgy = i to a+/?+y = 45°. o    8

150. a, /? są kątami ostrymi. Zbadaj, która z liczb: a — cos (a-)-/?), b = cosa+cos/? jest większa.

160. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji:

a)    y = sin a+cos a

b)    y = sina—cos a-dla 0° a ^ 180°.

161. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji: 1

a) y = — sin2a-f-cos²a,

b)    y — sin²a—sin a cos a,

a

c)    y — 1+cosa+cos²—.

37