Rozdział II Funkcje trygonometryczne Zad 5c d 190

a)    pole równolegloboku,

b)    długości jego przekątnych.

176. .Długość podstawy trójkąta równoramiennego jest a, kąt przy tej podstawie jest a. Trójkąt przecięto prostą przechodzącą przez koniec podstawy i nachyloną do niej pod kątem /3 ([) < a). Wyznacz stosunek m pól trójkątów, na jakie prosta podzieliła dany

177.    Romb, którego bok ma długość a, zaś kąt ostry jest a, podzielono na 3 części o równych polach prostymi przeprowadzonymi z wierzchołka kąta ostrego. Wyznacz długości odcinków prowadzonych prostych zawarte w rombie i kosinusy kątów utworzonych przez te proste.

178.    Dwie proste k,l tworzące ze sobą kąt 60° przecięto trzecią prostą p, prostopadłą do k, a następnie zakreślono dwa okręgi, z których każdy jest styczny do tych trzech prostych (środki okręgów leżą po obu stronach prostej p). Wyznacz stosunek promieni tych okręgów.

179. Na okręgu opisano trapez o polu S. Ramiona trapezu tworzą z większą jego podstawą kąty a i 3a. Wyznacz promień okręgu.

180.    Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny, którego kąt ostry jest a. Wyznacz promień li okręgu opisanego na tym trapezie.

181.    Na trójkącie, którego dwa kąty są: a, /?, opisano okrąg. Wyznacz stosunek pola trójkąta do pola koła, którego brzegiem jest zakreślony okrąg.

182. Wykaż, że jeśli w trójkącie ABC zachodzi związek

BO

cos^^ł

AC

cos <£C ’

to trójkąt jest równoramienny.

183. Wykaż, że jeśli jeden z kątów trójkąta jest 30°, to długość boku przeciwległego ternu kątowi jest równa promieniowi okręgu opisanego na trójkącie.

1S4. Wykaż, że jeśli na czworokącie można opisać okrąg, to pole

tego czworokąta wyraża się wzorem: B —

(ab-\-cd) sina

--¹ > gdzie

a,b, c, d oznaczają długości boków czworokąta, zaś a kąt między bokami a i b.

185. Wykaż, że jeśli kąty a, ($, y trójkąta spełniają równanie sin²oc = = sin²/?+sin²y, to trójkąt jest prostokątny.

18(5. Wykaż, że jeśli w trójkącie ABC miara kąta A jest trzykrotnie większa od miary kąta B, to (a—b)² (a-{-b) — bo², gdzie a — BC, b = AC i o = AB.

187.    Wykaż, że jeśli miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometiycznego o ilorazie 2, to między długościami

1    1    1

a, b, c boków trójkąta zachodzi związek: — = -—

a    b    c

188.    Udowodnij, że długości boków a, b, c dowolnego trójkąta spełniają nierówność: a²-\-b²-\-c² < 2(ab-\-ac-\-bc).

180. Dwa kola styczne zewnętrznie, mają wspólne styczne przecinające się pod kątem a. Wykaż, że stosunek promieni tych kół jest

1+sin

a

równy liczbie: s —

2

1—sin

a

2

§ 8. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej — zadania

190. Wyznacz część wspólną zbiorów A i B, jeśli:

41