s40 41

40

Ponieważ, y"{2) = 3, więc 3 — —2k{2) ³, a stąd k — —12.

Wyznaczyć pochodną drugiego rzędu funkcji:

2. y = sirr x

⁴-^{y =} J^r

6. y = (1 + x²)arctgx

1. y = \/l + x² 3. y =

ln x

5. y = -

x

Wyznaczyć pochodną trzeciego rzędu funkcji:

10. y — x ln x

t

12. y — arctg-

7. y = cos² x 9. y = xsinx 11. y — te~'

Wyznaczyć pochodną rzędu n funkcji:

14. y = e"'^r 16. y = lnx

13. y = x^m 15. y = e~“

17.    /(x) = arcsin i; obliczyć: /(2), /'(2), /"(2)

x

18.    f(x) = e^; obliczyć: /"(4)

19.    f(x) = xe~^x; obliczyć: /"(O)

20.    f(x) = arctg(2.x); obliczyć: /"'(-)

21.    /(.x) = ln(l + 2x); obliczyć: fⁿ (1)

22. f(x) — (2x — l)⁵; obliczyć: y^JV (1)

23. f(x) = e“ + e^-a:; obliczyć: /^(l,)(0)

wykazać, że /(l) +    ^ ^ + • • • +

/^(P

n!

= 2”

Stosując wzór Leibniza, wyznaczyć pochodną trzeciego rzędu funkcji:

27. y — xcosx

25. y = e~^x sinx    26.y = x²\nx

28. y = x^Łe^x\ obliczyć: ;//^{(1 r,)}(())

Wykazać, że dane funkcje spełniają podane równania:

•20. y=v 2x - X², yV + l=0    ³⁰‘^{y =}    2(j/')² = (y - \)y"

31. y =    ^(e^J: - e^-j:), y"- y-    o    32.    y =    e^J cosx,    j/ⁿ'+4j/ = 0

33. i/ =    y" = x(y')²    34.    y =    xe~*,    x²yy" = (y - a;;</)-

35. y = e~*(3x² +x- 1), y"' + 3y" + 3y' + y = O

30. Dana jest funkcja /(z) = x² +bx + c. Znaleźć wartości parametrów b i c wiedząc, że /(O) = 3, /'(O) = -1.

I >ln jakich wartości parametru k, w punkcie x = O, spełnione są warunki:

17. y =    ln(fcx + 1), y^lv = -6    38.    y =    cos(kx),    yⁿ =16 7

11hi jakich wartości parametru 6 funkcja y = e^br spełnia równanie:

311. y’" -y = O    40. y⁽⁵⁾ - y" = O ?

I Ulpowiedzi

1.	v" --	= (1+x^2)-t	2.	y" =	2 cos(2x)
s	v" --	= 2e~^x~ (2x^2 - 1)	4.	y" =	2(*+2) U-\y
R.	v" --	_ 2 In a: —3 j;'	6.	v" =	■Ij• 2arctgx +
7.	y’"	= 4sin(2x)	8.	v'" =	24
0.	ii'"	= — (xcosx + 3sinx)	10.	y'" =	L
1 l	ii'" ■	= e-‘(3 -t)	12.	y'" =	2a(3t^2 —a~)
13		= rn(m — 1) • ■ • (m — n + l)x^m_,‘	i
1 1		= a"e^ax	15.	v^(n) =
III	u^(n)

19. /"(O) = -2

21. f^,v(l) = -ff

23. /^(,,)(0) = a" + ("D”

17 /(2) = f, /'(2) = -^, /"(:2) = ^ IH /"(4) = ^e² 20. /"'(i) =4 i'i. //^M (I) = 1920