s44 45

14

Zatem

'2 a więc

y(J) = 1, V'(l) = O, y"C-) = -2, y"'C-) = O, y'^v(c) = -8cos2c

= 1-	2 (	TT
	— (a; —
	2! V	2
= 1-	/ TT ’	\^2
	r 2<	)

7T \ ²    8 cos 2c

4!

4. Obliczyć z dokładnością do 0,001 wartość przybliżoną liczby e.

Przedstawmy funkcję y = e^j: za pomocą wzoru Maclaurina, a więc

„_W=#(0)+^_I+^ ₊ ... ₊ ax-_+R,,_W,

Rn(_X) = ^y{"^){f^X)-x", 0 6(0,1).

n!

y^{n)(^x) = e^r, n= 1,2,--, y⁽ⁿ⁾(0) = 1, n = 1,2,    -,

Zauważmy, że a więc stąd mamy

e* = l + ^+ix² + -- + ^—-.xⁿe^ex, 06(0,1).

1!    2!    (n -1)!    n!

Podstawiając x = 1, otrzymujemy

e = l ₊ i ₊ I + -.. + —i— + —je^e, 0 £ (0,1).

1!    2!    (n - 1)! n!

Aby określić, ile wyrazów tego rozwinięcia należy uwzględnić chcąc uzyskać żądaną dokładność, należy oszacować wielkość ^e^e dla 0 6 (0,1). Oczywiście

mamy	V <	1 o -3 < 10"^3	dla
	n!	n!
Stąd		1 1 1	1
	e « 1 + 1 +	— -L — -J> - -4- 2 3! 4!	5! ^+

a więc

e = 2,718 ±0,001

Sprawdzić, czy funkcje zadane wzorami spełniają założenia twierdzenia Rolle’a:

1. f(x) = x³ ± 4x² - 7x - 10, -1 < x < 2

2. f(x) = \x — 11,    0 < x < 2

3. f(x) = 1 - \Xa?2,    -1 < x < 1

4. Podać interpretację geometryczną twierdzenia Lagrange’a i wyznaczyć liczbę c dla funkcji f(x) = Ina: gdy (a) x £ [1,3], oraz (6) x £ [l,e].

Zastosować twierdzenie Lagrange’a i wyznaczyć liczbę c dla zadanych funkcji:

. f(x) = x³ — 1, — 3 < x < 3

6. f(x) = y/x, 1 < x < 4

W zadaniach 1-6, należy skorzystać z następujących twierdzeń:

iw. Rolle’a: Jeżeli funkcja / jest ciągła w [a, b] i różniczkowalna w (a,b), oraz jeżeli f(a) = f(b), to istnieje punkt c £ (a, b) taki, że f'(c) = 0.

iw. Lagrange’a: Jeżeli funkcja / jest ciągła w [a, 6] i różniczkowalna w (a, b), to istnieje punkt c £ (a,b) taki, że f'(c) =    ■

Wyznaczyć różniczki danych funkcji:

7. y = ia;⁵ ± 3

0.    y = arcctg 3x

1.    r = cos f ± sin -

O

8. y — ln(l ± x²) 10. r = cos(a — bip) 12. r - ln e^

Wyznaczyć różniczki funkcji w zadanych punktach i przy danych przyrostach:

X — 1

15. y = --, x =1, dx — 0, 01

x ± 1

10. y = x² — ln(2 — x²), x = 1, dx — 0,05 Napisać różniczki rzędu drugiego funkcji:

17.    y = e^-j:(2 — 2x — x²)

18.    y = e~^x w punkcie x = 0 i dla dx = 0,1