SPOM04

/.:»<.!;init’ 7: Wynikiem wzorcowania pewnego toru pomiarowego jest charakterystyka statyczna postaci

y p_X) 4 />,v dla.v e[0, l]

gdzie v |cst wielkością mierzoną, y ■ surowym wynikiem pomiaru, a p_(]    0.29 i /?,    1.02 -

estymaiaim parametrów, wyznaczonymi metodą najmniejszych kwadratów przy użyciu następującego planu eksperymentu pomiarowego:

_v [I    I    I    1    I    I    1    I    1    l]^r

^x~[\    0    I    0    I    0    1    0    1    o

Wyznaczyć wariancję błędu estymaty x wartości prawdziwej wielkości mierzonej x. obliczonej przy użyciu tej charakterystyki statycznej na podstawie surowego wyniku pomiaru y oba

błędem przypadkowym o rozkładzie oY(0, 0. 0*5). Założyć, żc do wzorcowania użyto danych obarczonych błędem przypadkowym o takim samym rozkładzie. Sporządzić wykres zależności wariancję błędu estymaty x od wartości prawdziwej wielkości mierzonej x .

Rozwiązanie:

Wyznaczamy macierz kowariancji estymatora parametrów, przy użyciu którego uzyskano w wyniku wzorcowania wektor estymal p - [/;, p, ]⁷ :

Cov(p) jcov( [> + zip) = Cov(/lp)\= (x' x) ' o-; =    | "qq2

gdzie <7y    0.05 jest wariancją błędu danych pomiarowych, a zip jest wektorem losowym

modelującym błąd estymacji parametrów. Macierz ta zawiera wariancje i kowariancje estymat parametrów niezbędne do oszacowania wariancji błędu wyniku potni ru zdefiniowanego wzorem:

+ ^ +    +    4Ę-#₀- #,r

P\    ” P\

Ostatnie przybliżenie wynika z opuszczenia zmiennej losowej Ap ^ w mianowniku, której realizację są na ogół pomijalnc względem />, = 1. Wariancja błędu wyniku pomiaru wyraża sic wzorem.

V;» (• h) + Vat(4?J + Var(zV>_t ).v + 2e(ąp_q4P_{ Ir

Var(i-.v)=-----—--

Pi

a po podstawieniu odpowiednich elementów macierzy Cov(p) przyjmuje wartość:

Var( v - ,v) s

0.05 4 0.01 4- 0.02.v" - 2 0.0 l.v

= 0.02(3-.v+.r-)

Zadanie .S: Do estymacji parametrów /;,, p, i /;, modelu toru pomiarowego y = p\*\ + Pi^xi + Pi^x)

zastosowano metodę najmniejszych kwadratów i plan eksperymentu:

"1-1 I-I I-I I -aY X = 1 -! -1    a 1-1-1    1

i I    I -1 -1 - l    -1

•ij Dla jakiej wartość: . - a suma kwadratów współczynników korelacji estymat \\ ^s