spomK 12

iZadanic 2. Do wzorcowania pewnego toru pomiarowego, którego modelem jest zależność y = p,x, + p₂x₂, zastosowano metodę najmniejszych kwadratów - zakładając, ze pian

[eksperymentu ma postać:

X =

1    a

a    a

a    1

I    1

Wyznaczyć wartość parametru a, dla której suma wariancji estymat parametrów p_{ i p₂ jest największa.

Rozwiązanie:

A = X ^r X =

•ad 1.2)

yl_n-4 + 2a²

A₂₂ =4 + 2a^l

Af₂ = rz² + 2of — 1 ^2i =«² + 2ar - 1

dct(A) = (d + 2«²)² - (a² + 2<z - l)² = = 16+ 16c?² + 4or¹ - a^Ą - 4a² -

1 - 4aⁱ + 2a~ +4a =

K	,/[«] - 4 - i
I ;	1 dJ 2 4 da ~
< -	30« + 8a

det(A)

= 15 + 4a + 12<z² - 4a³ + 3a¹ <2!    bo A-' =

det( A)

A₂₂ A j₂

-/I

21

4tJ

2 + a^J

[•]²

30« + 8a² + 24«³ - 8a¹ + 6«^s - 8 - 48a + 24a² - 24<*³ - 4a² - 24a³ + I2a¹ - I2a² = 0 -8 - 18or + 28a² - 24a³ + 4ar¹ - 6a^s = 0

I

#

/]^/]^)^/1

1

+ 9cr-14a² + 12a³ -2a¹ + 3rr^s =0 a - -0285 - jedyny rzeczywisty pierwiastek.

2

Jak wynika z załączonego wykresu jest to współrzędna maksimum Ąa].