SPOM05

b) Jaka jcsi wartość wariancji cstymat /3,, p₂ i /V, odpowiadająca o - a . jeżeli wariancja pojedynczego wyniku pomiaru wielkości y jest a; - 0.8

Rozwiązanie: Macierz układu równań normalnych ma postać:

1    p -p

X^rX - (? + a²) p    1 -p

[~P ~P

gdzie p = (2 - 2a) I {l + a¹}. Staje sit; ona macierzą diagonalną, gdy p-- 0, tzn. gdy a-l. Wówczas:

X^rX = 8

1	0	0'			1 0	0'
0	1	0	oraz (X^r	X) ' =0.125	0 1	0
0	0	1			0 0	1

co oznacza, że wszystkie współczynniki korelacji cstymat parametrów są równe zeru (suma ich kwadratów osiąga minimum), a wariancje wynoszą: aj = 0.125aj = 0.1 dla m = 1.2.3.

Zadanie 9: Do wzorcowania pewnego toru pomiarowego, którego modelem jest zależność y- | + p,x₂, zastosowano metodę najmniejszych kwadratów - zakładając, że plan eksperymentu ma postać:

r

X =

I a a 1    -1    1

aa 11    1    -

Wyznaczyć wartość parametru a, dla której suma wariancji cstymat parametrów /;, i p₂ jest

największa.

Rozwiązanie:

A = X^tX = [zl|

l ^J J(.;e| 1.2}

A11 = 4 + 2a²1 A_n = A_2i = a² + 2or - 1, A₂₂ = 4 + 2ar² det(A) = (4 + 2a²')² - (a² + 2a - l)² =

^22 “ ^121 “^2! ^Ilj

■ bo A '= , , . ^{1 J} det(A)    det(A)

= 16+ 16a² +4a⁴ -a* - 4a² - 1 -4a³ +2a^: +4a -= 15 + 4ar + I4a² - 4a³ + 3a⁴ 1 * ^22

2 + a

./(aj -4-

15 + 4a + I4a² -4a³ + 3a⁴

I £/    2a(l5 + 4a + 14a² - 4a^} + 3a⁴) - (2 + a² )(4 + 28a - \-. r + I 3a ’)

'***"    FF

3<sr + 4a⁴ - 24a³ + 2Sa² - 26a - 8 = O

Rozwiązaniem tego- równania jest: a - -0.2354 (jedyliy rzeczy u t>a\ pierw 7--es.» Metoda New ma:

f(“,) „ . _n,

«iV ~    77,-7 dla / = 0.1...

/ (^ai)