str269

§ I. POJĘCIE TENSORA 269

Własność 2. Delta Kroneckera <5' jest tensorem mieszanym rzędu drugiego. Własność 3. Charakter tensorowy jest przechodni.

Własność tę można również sformułować w następujący sposób: jeżeli dane są trzy

oraz
dx^m T = T-- " ^mndx'^r	dx^n
	8x'^s
„ , 8x'^m -* rs ^1 mn	dx'^n
	dx"^x
dx^m	dx^n
T = T ^rs mnex"^r	. _
	dx"^s

to

(l.H)

Definicja 10. N-wymiarowym polem tensorowym nazywamy przestrzeń ^-wymiarową (lub pewien obszar tej przestrzeni), jeżeli w każdym punkcie tej przestrzeni (lub tego obszaru) jest określony tensor.

Uwaga. Często zamiast terminu rząd tensora używa się zwrotu Walencja tensora np. zamiast tensor rzędu drugiego mówi się tensor o Walencji dwa; tensor rzędu piątego — tensor o Walencji pięć.

Zadania przykładowe

Zadanie 1.1. W przestrzeni trójwymiarowej dane jest równanie ruchu x? = x^r(t).

, . (dx¹ dx² dx³) .

W>kazać, że zbiór składowych skalarnych wektora prędkości    —— > jest wek-

( dt dt dt j

torem kontrawariantnym (czyli tensorem kontrawariantnym rzędu pierwszego).

(dy^l dy² dv³)

Rozwiązanie. Niech <-,-, ——> będą składowymi prędkości rozważanego

( dt dt dt )

ruchu w układzie współrzędnych y^r, przy czym współrzędne x^r i / są ze sobą związane zależnościami (1.2)

(1)    y^k = f\x^l, x², x³) dla k= 1,2,3,...

Różniczkując obie strony zależności (1) względem t otrzymujemy

l w ^3	_	dx^l ___L.	8/	dx^2 ___L	oy^r	dx^3
dt '	“ dx^t	dt	dx^2	dt	fa^3'	~d7

co zgodnie z umową sumacyjną możemy zapisać w postaci