str291

§ 4. SYMBOLE CHRISTOFFELA 291

eżnione od parametru t — s, te"), to równanie różniczkowe

przekształceń przybiera na-

0.

t jeden jej punkt oraz wektor zywamy wyrażenie [m n, r]

ny względem pary wskaźni-

telnia następujący związek:

szyjnej uwzględnimy symbol i postać:

azywamy wyrażenie {_m^rll}

'wszego i drugiego zachodzi

Własność 11. Równanie linii geodezyjnej (4.6) po uwzględnieniu symbolu Christoffela rodzaju drugiego przybiera następującą postać:

d²x^r

(4.13)

ds‘

- +

r jdx^m dxⁿ

)--— = 0.

m n) ds ds

Własność 12. Symbole Christoffela nie są tensorami.

Definicja 4. Linią geodezyjną zerową nazywamy krzywą, która dla pewnego parametru u spełnia warunek

(4.14)

dx^m 1 du

dx"

du

= 0.

Zadania przykładowe

Zadanie 4.1 Wyznaczyć równania różniczkowe linii geodezyjnej we współrzędnych cylindrycznych

(1)    x¹ = r, x²-tp, x³ = z.

Rozwiązanie. Metryczny tensor kowariantny we współrzędnych cylindrycznych ma następujące składowe (patrz wzór 5, zad. 3.7):

(2)    a_m„ = 0 ^dla m¥>n oraz a_u = 1,    a₂₂ = r²,    a₃₃ = 1.

Funkcje x^l(s) = r(i), x²(s) = <p(s), x³(j) = z(j) spełniają układ równań różniczkowych (4.6) dla k — 1,2, 3. Są to następujące równania:

fc=l,	d^2x^l 1 da22(dx^2'\^2 n ^1' ds^2 2 dx^l \ds J
k — 2,	d^2x^2 da22 dx^x dx^2 n *^2 ds^2 1 6x^2 ds ds
II	d^2x^3 *33 ^ -0.
Powyższy układ równań po	uwzględnieniu zależności (2) i oznaczeń (1) przybiera
postać	d^2r (dtp\^2ds^2 r{ds) °’
(3)	d^2cp dr dtp ^r , 2 j ’ j ®» ds as ds
	d^2z ds^2

19*