Str048 (2)

« .1 KryplóftwJln

■r

- t

. -.w

1) ¹ d -O ^lb -D ^lc D"¹ a

Są 11*7y przypadki przy rozwiązywaniu układu równań AX — B. W pierwszym, gdy wyznacznik D jest różny od zera, istnieje dokładnie jedno rozwiązanie

A’ - ^ \ Jeśli D = 0. to albo nic istnieje rozwiązanie, albo istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Tc trzy przypadki mają prostą interpretację geometryczną. Oba równania opisują linie proste na płaszczyźnie. Jeśli D ź 0, to te proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie (x,y). W przeciwnym przypadku te proste są równoległe, co oznacza, że nic przecinają się w ogóle (układ równań nie ma rozwiązania) lub są naprawdę tą samą prostą (układ ma nieskończenie wiele rozwiązań).    . *

Przypuśćmy następnie, że mamy kilka wektorów X, — { ¹1, ...,

_M §1

X_k ss ( V ustawionych jako kolumny jednej macierzy o wymiarach 2xk.

a>h + by_x ... ax_k + by_k c d)\y_x ... yj der lęx_Ł + dy_x ... cx_k + dy_k

AX=

Wtedy definiujemy iloczyn macierzy ^fa b\fx_l ... x_k

w ten sposób, że mnożymy macierz A przez kolejne wektory-kolumny, otrzymując nowe kolumny. Na przykład iloczyn dwóch macierzy 2 x 2 ma postać

(a b\ fa' b'\ _ /aa' + be¹ ab' # W\ \c d)    dj ~ \ca' + dc' cb' + dd'J

Podobne własności mają macierze 3x3; można je mnożyć przez trójwymiarowe wektory-kolumny itd. Jednakże wyznacznik oraz macierz odwrotna wyrażają się bardziej skomplikowanymi wzorami. Na tym zakończymy nasz krótki przegląd wiadomości z algebry liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych.

Algebra liniowa modulo N. W podrozdziale 3.1, gdy mieliśmy do czynienia z przekształceniami szyfrującymi działającymi na pojedynczych literach, czyli przekształceniami zbioru Z/WZ, stwierdziliśmy, że łatwo się posługiwać następującymi przekształceniami:

(a)    przekształceniami „liniowymi” C == aP, gdzie a jest elementem odwracalnym w Z/JVZ;

(b)    przekształceniami „afmicznymi” C = aP + b, gdzie a jest elementem odwracalnym w ZjNTj.

Z podobną sytuacją spotykamy się, gdy naszymi jednostkami tekstu są wek-tory-digramy. Najpierw zajmiemy się przekształceniami liniowymi. Różnica

polega na tym, że wtedy, kiedy mamy do czynienia z przestrzenią (Z/ffi)⁷*, a nie z 7*1 Nh, zamiast liczby a będziemy mieli macierz wymiaru 2x2, którą oznaczymy przez /ł. Wyjaśnimy najpierw, jakich rodzajów macierzy będziemy potrzebować.

Niech /? będzie dowolnym pierścieniem przemiennym, tzn. zbiorem i działaniami dodawania i mnożenia, spełniającymi te same warunki co w przypadku ciał, z tym wyjątkiem, źe nie będziemy żądać, by każdy element niezerowy miał element odwrotny. Na przykład Z/NZ zawsze jest pierścieniem, ale nie jest ciałem, o ile liczba N nie jest pierwsza. Przez R* oznaczymy zbiór elementów odwracalnych pierścienia R. Na przykład (Z/NZ)* = m[Q <] <N: NWD(J, N) = \).

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym, to przez M₂(K) oznaczymy zbiór wszystkich macierzy 2 x 2 o wyrazach z R, z działaniami dodawania i mnożenia określonymi tak, jak określaliśmy je dla macierzy o wyrazach rzeczywistych. Będziemy nazywać M₂(R) „pierścieniem macierzy nad JT; M₂{R) jest pierścieniem, ale nie jest pierścieniem przemiennym, tzn. iloczyn macierzy na ogół zależy od kolejności czynników.

Wcześniej w tym podrozdziale rozważaliśmy macierze, których wyrazy pochodziły z pierścienia (a nawet ciała) R = R liczb rzeczywistych. Przypomnijmy, że macierz

0    wyrazach rzeczywistych a, ó, c, d ma macierz odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik D — ad— bc jest różny od zera i wtedy ta macierz odwrotna jest równa

f D~^ld -D~^lb\

[-D^c D~^la 1

Podobną sytuację mamy dla dowolnego pierścienia R.

Przypuśćmy mianowicie, że

oraz wyznacznik D = det(>4} = ad- bc jest elementem R*. Niech D~^l będzie

def

elementem odwrotnym do Z) w pierścieniu R. Wtedy ( D~^ld -D'^lb\fab\ (D-'(da-bc)    0 W¹ °\

D~^la J\c d) ⁼ \    |    D~'(-cb + ad)J |§ 1/

1    otrzymamy taki sam wynik