Odpowiedzi i wskazówki Zad 8 128

108. Dla każdego 90° < a < 180° wyrażenie ma wartość dodatnią. 104.

105.

Wskazówka: najpierw wyznacz iloczyny: a₁-a₈₉; a₂• a_ss; a₃-a₈₇ itp. Skorzystaj ze wzoru; tga =» ctg(90°—a).

a)    dla 45° < a < 90° lub 90° < a < 135°.

Wskazówka: zauważ, że jest to ciąg geometryczny i skorzystaj z warunków monotoniczności ciągu geometrycznego.

b) dla 0° < a < 180°. Wskazówka: wyznacz najpierw różnicę a_n+1—a_n>

c) dla 0° < a < 60° lub 300° < a < 360°. Wskazówka jak dla b).

R    1

, 0° < a < 90".

106. — -

sin2a*tg ( 45°--

2

107.

108.

109.

i? sin a

r = -, 0° < a < 90°.

1+sina

3    4

Jeśli a, /? są kątami ostrymi tego trójkąta, to sina = —, sin/? = --.

5    5

Jeśli a, fi są kątami ostrymi tego trójkąta, to sina—

V5—1

sin/5

V2V5-2

110. P =

s²sin a cos a (1-f-sina)³

h

Wskazówka: rozwiąż najpierw układ równań a-{-h = s, ——sina, gdzie a jest długością ramienia, zaś h długością wysokości trójkąta.

111. a) Wskazówka: wykaż, że przy podanych założeniach 0 < tga < 1 i cos a > 0, a stąd wywnioskuj tezę. b) Wskazówka: wykaż, że przy podanych założeniach tga > 1 i cos a > 0, a stąd wywnioskuj tezę.

15 V7 — 16VTI c) —

112.

d)

12

16\/’l4-27\/7

12

49

113.

114.

a)

31

Ve-V2

b) -

5-j-12V3

4    26

siny — 1 lub siny = 0,28, lub siny = —0,28.

115. |cos/?| — — im _n

MO. cos33° 117. sin 35°

~~2~

(a-rVl—a²).

vn

~2~

(Vi—p²—p).

118.    Tak. Wskazówka: oblicz najpierw siny i cosy i sprawdź, że sin²y-j-+cos^ay — 1.

119.    Rozwiązanie: z warunków zadania wynika, że 0 < cosa < 1 i 0 < cos/? < 1, zaś stąd mamy:

0 < sinacos/? < sina i 0 < cosasin/? < sin/?.

Dodając stronami ostatnie dwie nierówności otrzymujemy:

0 < sin(a + /?) < sina-f-sin/?, a więc tezę.

120.    Wskazówka: zastosuj dwukrotnie wzory na sinus i cosinus sumy kątów'.

121.    tga = — 2. Wskazówka: skorzystaj ze wzoru na tangens różnicy kątów.

122.    Wskazówka jak w zadaniu 121.

123.

tg/3 =

2 + V2

tg/?

tga =

_ lub 2 —V 2

tga =

2 — V 2

-

2 + V'2

Wskazówka: korzystając z warunków zadania i wzoru na tangens sumy kątów, ułóż i rozwiąż odpowiedni układ równań.

124. tg/?

Zadanie ma rozwiązanie gdy a² + a-ó + l # 0.

125.

120.

1 -\-a?-\-ab

Wskazówka: skorzystaj z faktu, że tg (a — /?) — 1 Wskazówka: stosując odpowiednie wzory, najpierw wykaż, że: 2cos (45° — a) *cos (45° — /?)

(l + tga)(l + tgj9) =

cos a cos /?

a następnie skorzystaj

127.

+k-

128.

z założenia.

Rozwiązanie: z warunków zadania mamy: cos(a-f/?) = 0=> a-f-// =*= •180° + 90°    /? — 90° — a-f-&■ 180°, stąd sin(a + 2/?) = sin(a-f180° — 2a-)-

,300°) = sin(180° —a + ^'300°) = sin(180° —a) = sina.

4n|l — n²\ .

sina = ——;—rrr-> COS a ”

(n² + l)²

n* — On² +1    4n | 1. —n²|

-, tga — ---

\2 o

(w²    1 )²

149