s42 43

12

24. Wskazówka:

12

(1) n(n — 1) • • • (n — k + 1)

n

jfc!

Jb!

e ;)->■-(i+D*

A*=0

25. y'" = 2e ^3,*(sinz + cosz), skorzystać ze wzoru Leibniza:

»)

A-=0

(/ • .9)⁽

20. w

/// ___ 2

.K

27. y"^f = z sin# — 3 cos z

28. iy⁽¹⁵⁾(0) = 210 86. 6 = -1, c = 3 ,48. k = 2 lub k — —2 40. 6 = 0 lub 6=1

37. k = 1 lub jfc = -1 39. 6 = 1

1.2.7. Twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a, Taylora i Maclaurina. Różniczka funkcji

Z powyższych rozważań wynika, że

yiM w 2+ 0,031 0,1 « 2,003

Napisać wzór Taylora dla funkcji y w zadanym punkcie xo przy n = «o:

X

2. y

x + 2 ’

n₀ =3, xo = 1,

o    7T

3. y = sin^-' x, n₀ — 4, x₀ =

w

^ł>

W rozwiązaniu tego zadania skorzystamy z

Tw. Taylora: Jeżeli funkcja y ma ciągłe pochodne do rzędu (n — 1) włącznie ^ przedziale domkniętym o końcach xo i x, oraz ma pochodną rzędu n wewnątr tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący pomiędzy xo i x, że funkcję można przedstawić za pomocą wzoru Taylora:

//(x) = o) +

y\*o)

1!

(x-x₀) +

y"{xo) 2!

(x-'X₀)²-\-----h

(n - 1)!

(x-xo)"

R„ (x)

2/^’^(c)

-j — (.T X₀)    .

n;

Dodajmy, że jeżeli x*o = 0, to wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina.

g'

Zauważmy, że funkcja y z zadania 2 ma pochodną dowolnego rzędu dla każ x t^—2, oraz

V = 2( 2)^-2,

2/" = -4(x + 2)-³,

///

12(x + 2)

Ponieważ

2/(1)

1

3’

2/'(l)

9’

2/"(l)

27’

więc

^{1 2}/

x + 2 ' 3 ⁺ 9 * ~ ¹

27

(x - l)² +

2

(c + 2)

(x - 1)

3

.1 Obliczmy pochodne:

V

2 sin x cos x = sin2x,

y = 2cos2x,

4*

y

sin 2x,

a wiec *

2, /'(16) = - • -

4 8

1

0,031.

V

l\

-- —8cos2x