skan0005 (8)

10.

■

18. Arg

a.lTlala afilgfs

\X2j h

7. |*ⁿ| = |s|ⁿ, n = l,2_r..

9.    = -Pzr gdy z₂*3 ^ O

\Z2Zz) z₂zs

11. Z\J&2 + ź\Z2 jest 1. rzeczywistą

IS. \zi+Z₂\<\Zi\ + \Z2\

15. Re(i,z) = —Im(z)

17. z2 = |j8f|'²-

19. Arg(ziz₂) = Arg(^i) + Arg(s_a) 21. Arg(.zi22) = Arg(^i) - Arg(*₂) 4. F = (2)⁴ 8. \z\ = o

— I = 7-^p-r gdy *2*3 H O

*2*31 NIM

12. N-*₂|<Nl + NI 14. |zi - z₂| > NI - NI 16. Re(*) =    Im(*) =r

-Arg(», 20. Arg(zź) = O

22.    Arg pl| = Arg(zi) - Arg(z₂), # O

23.    N + z₂|² + N - *2|^a = 2(NI² + NI²)

24.    N + 2₂|² = NI² + N|² + 2Re(zi2₂)

25.    Re(^i2r₂) == Re(2i)Re(2₂) + Im(jzi)Im(£₂)

26.    Im(ziZ2) = ReNJlmN) + ImN)Re(a:₂)

5. Wyrazić cos 2p i sin 2^7 za pomocą sin p i cos p

Niech z — cos p + i sin (p. Korzystając ze wzoru Moivre’a mamy z² = (cos p + i sin p)² = cos2<p + i sin 2p. Podnosząc z do potęgi drugiej, mamy również:

z² = (cos <p + i sin <p)² .= cos² p + 2i sin p cos p — sin² p,

a więc

Stąd

cos 2<p + i sin 2<p = cos² <p + 2i sin p cos p — sin² p. cos 2p = cos² p — sin² p, sin 2p = 2 sin p cos p.

0. Obliczyć (/27?

Niech z = 27i. Łatwo zauważyć, że

|i:| = 27, oraz cos<p = 0, siny>==l,

tt wlqc tp = | jest argumentem liczby z. Zgodnie ze wzorem (1.1) mamy

/ f + 2krc . . f + 2fc7r\    | _

w* = 3 (cos-— --Msm-— -1, A; = 0,1,2.

Stad szukanymi pierwiastkami są liczby:

Wyznaczyć pierwiastki równania: 7. z² + 2z -f (1 — i) = 0

wo = 3 |	( TT . . 7T\ [coS- + t8in-j =	5(a/3 -ł- i),
	f f+ 2* . .	1 + 2* \
wi = 3 I	^cos - + « sin	3 ) =
U>2 — 3	( \ + 4tt . . .	f+47T\
		3 )

= -3 i.

Równanie z² + bz + ć/= 0 ma dwa pierwiastki dane wzorami:

—6 + y/b² — 4c    —6 — y/b² — 4 c

2=    * <- iE^V:'."^{2 =} ~2—■

W naszym zadaniu 6 = 2, c = 1 — *, wiec pierwiastkami są liczby:

z\ = -1 + yfi = — 1 + -^(-ł-+*), Z2 = —1 — =Sl -HBLi + i).

Przedstawić w postaci algebraicznej liczby zespolone:

1. et*

3. -2aH

2. 4®“** 4.