top9

21

§5. Odwzorowania ciągłe

wybrałem trzy, mające szczególne znaczenie i odmienny charakter: spójność, hausdorffowość i zwartość. Zostaną one omówione w trzech następnych paragrafach.

§6. Spójność

Definicja (spójność). Przestrzeń topologiczną nazywamy spójną, jeśli nie da się ona rozłożyć na sumę dwóch niepustych, otwartych i rozłącznych pod przestrzeni: inaczej mówiąc, jeśli jedynymi jej podzbiorami otwartymi i domkniętymi zarazem są: cała przestrzeń i zbiór pusty.

prwstrzpń nattpjjna    przestrzeń spójno

Przykład. Przedział (otwarty, jednostronnie domknięty lub domknięty) I c R jest zawsze spójny. Ten przykład, aczkolwiek dość prosty, ma szczególne znaczenie, gdyż w wielu przypadkach spójność skomplikowanych przestrzeni wyprowadza się w gruncie rzeczy ze spójności przedziału. Z tego względu przedstawimy zwięzły dowód. Przypuśćmy, że I = AuB. AnB = 0, przy czym A i B są niepuste oraz otwarte w topologii / jako podprzestrzeni I <z R. Wybierzmy punkty aeA, beB (możemy przyjąć, że a < b) oraz niech s:— inf{xe B| a < x}. Wówczas każde otoczenie punktu s zawiera punkty z B (definicja infimum), a także punkty z A (bo jeśli s * a, to a < s oraz ] a, s[ c A). Lecz takiej własności nie mają punkty należące do A lub do B (bo zbiory te są otwarte i rozłączne). Otrzymujemy stąd sprzeczność, bo skoro a < s < b, to sel » AuB. □

Przykład. Podprzestrzeń X: = [0. 1]^]2, 3[<= R jest niespójna, gdyż możemy ją rozłożyć na dwa niepuste otwarte zbiory A = [0, 1] i B = ]2, 3[. (Wątpliwość. Wszystko tu się zgadza poza jedną rzeczą, mogącą budzić zastrzeżenia: otwartością zbioru A. Jakkolwiek patrzeć, A jest przedziałem domkniętym!!! Lecz, pamiętajmy, mamy tu do czynienia z topologią X, a nie /?!...)

Do czego może służyć pojęcie spójności? Niekiedy pozwala ono, na przykład, rozróżnić dwie przestrzenie topologiczne: jeśli jedna z przestrzeni jest spójna, a druga - niespójna, to nie mogą one być homeomorficznc. A oto inne użyteczne spostrzeżenie. Jeśli X jest przestrzenią spójną, Y — dowolnym zbiorem, a /: X -* Y - odwzorowaniem lokalnie stałym (tzn. każdy ma takie otoczenie że f\U_x jest stałe), to / jest stałe na X. Istotnie, niech yeJ'(X); skoro zbiory •^4:“ {*1 /(*) = >'}• B:= {x| /(x) ć y} są otwarte i dają rozkład X, to z warunku spójności wynika X = A. c.n.d. Powyższy fakt jest często stosowany do przypadku