157(1)

nośći A = -±-2 i odpowiadające im dwa punkty sfery (6, —24,8) i (—6.24, —8), w których płaszczyzna styczna jest równoległa do danej płaszczyzny.

767.    Wykazać, że płaszczyzny styczne do powierzchni xyz = m³ tworzą wraz z płaszczyznami układu współrzędnych czworościan o stałej objętości-

Rozwiązanie. Równanie płaszczyzny stycznej do danej powierzchni w punkcie P(x_Q,y_Q, z₀) będzie miało postać

y₀z_Qx-i-x₀z₀y+x₀y₀z = 3x₀‘y₀z₀

Płaszczyzna ta odcina na osiach układu odcinki a = 3x₀, b = 3y₀, c — 3r₀. Odcinki te są wzajemnie prostopadłymi krawędziami czworościanu, ograniczonego płaszczyzną styczną i płaszczyznami układu. Przyjmując jedną z tych krawędzi za wysokość czworościanu, znajdujemy jego

objętość, która wynosi V = j abc = y x₀y₀z₀ = y m³ (uwzględniliśmy

tu, że punkt P leży na rozważanej powierzchni) i nie zależy od współrzędnych punktu styczności P. Wynika z tego, że różne płaszczyzny styczne do danej powierzchni tworzą z płaszczyznami układu czworościan o stałej (jednakowej) objętości.

Napisać równania-płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni:

768.    x²+2y²+3z² = 6 w punkcie (I, —1,1)

769.    2z = x²—y² w punkcie (3, 1, 4)

X* V² z²

770.    y+ y-    = ¹ W punktach (.v₀,y_a, z₀) i (a, b, c)

771.    Napisać równania płaszczyzn stycznych do elipsoidy 4x²-j-4y²-t~z² = = 4, równoległych do płaszczyzny 12x—3y-t2z = 0.

772.    Napisać równania płaszczyzn stycznych do paraboloidy 4z = w punktach jej przecięcia się z prostą x = y — z.

773.    Sprawdzić, że powierzchnie X²—xy—8x-f-z-f 5 = 0 i 4+jr4-2y = = łnz są w punkcie (2, —3, 1) wzajemnie styczne, tj. że mają w tym punkcie wspólną płaszczyznę styczną.

§ 9. Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Mówimy, że funkcja f(M) ma w punkcie Mo maksimum (minimum), jeżeli jej wartość w tym punkcie jest największą (najmniejszą) z wartości, jakie funkcja ta przybiera we wszystkich punktach dostatecznie bliskich punktu Mo-

1/

316

Funkcja wielu zmiennych może mieć maksimum lub minimum (czyli ogólnie ekstremum) tylko w takich punktach, leżących wewnątrz obszaru określo-ności funkcji, >v których jej pochodne cząstkowe pierwszego rzędu albo są równe zeru, albo nie istnieją^I). Punkty tego rodzaju nazywamy krytycznymi.

Na to, aby punkt krytyczny M₀ był rzeczywiście punktem ekstremum funkcji f(M) trzeba, aby dla wszystkich punktów M dostatecznie bliskich M₀ (czyli z otoczenia M₀) przyrost funkcji <4/=nie zmieniał znaku. Przy tym, jeśli okaże się, że Af zachowuje znak dodatni, to M₀ jest punktem minimum, a jeśli żl/zachowuje znak ujemny, to M₀ jest punktem maksimum funkcji.

Dla funkcji dwóch zmiennych f(x, >•) zamiast badania znaku Af można badać każdy punkt krytyczny M₀, w którym funkcja jest dwukrotnie róż-niczkowalna, rozpatrując znak wyznacznika

A =

A B' B C

AC-B²

gdzie: A ~fxx(M₀), J? =/"(Af₀), C = f_yy(M_a). Przy tym:

1)    jeżeli A >0, to jest punktem ekstremum: punktem maksimum, gdy A < 0 (albo C < 0), a punktem minimum, gdy A > 0 (albo C > 0),

2)    jeżeli A < 0, to w punkcie Mo ekstremum nie ma,

3)    jeżeli A = 0, to dia rozstrzygnięcia, czy istnieje ekstremum w punkcie Mo potrzebne jest dalsze badanie, np. rozpatrzenie znaku przyrostu Af w otoczeniu tego punktu.

Warunki 1) i 2) są warunkami dostatecznymi istnienia lub też nie istnienia ekstremum.

774. Wyznaczyć ekstrema funkcji:

l)z = *³+8y³ — 6a-}>4-5    2) u — .x³+y² — 3jc-j- -y }/j³

2 Z 2

3) v — (x—y)^z+{y—l)³    4) iv =    -j-y³ -j-z³

Rozwiązanie:    1) Znajdujemy pochodne cząstkowe pierwszego

rzędu z_x i z' oraz punkty krytyczne, w których pochodne te są jednocześnie równe zeru bądź też nie istnieją, a które leżą wewnątrz obszaru określenia funkcji. Mamy z'_x — 3x*—6y; z'_y = 24j>²—6.v. Rozwiązując układ

równań z'_x = 0, z_y — 0, znajdujemy dwa punkty M_x(0, 0) i M_z (1, -yj •

’) Są to warunki konieczne istnienia ekstremum (ale nie dostateczne, gdyż mogą być one spełnione także i w punktach, gdzie nic ma ekstremum).

317