img204

Jeśli mamy do czynienia z n wektorami wyników obserwacji y₂« •••* y» (ⁿ ^ P + 1). to odpowiadający im model liniowy ma postać:

y, = p. + z_}    (/=l,...,/i)    (11.3)

a jako hipotezę zerową przyjmiemy na początek:

H₀:» = 0    (11.4)

I w założeniach analizy wariancji i w postaci hipotezy zerowej występują analogie z analizą jednowymiarową. Fakt ten musi znaleźć odbicie w postaci statystyki testującej hipotezę zerową. Przypomnijmy sobie zatem jak skonstruowany jest test F w przypadku analizy jednowymiarowej i np. dwuczynnikowej. Jest on ilorazem dwóch wariancji, z założenia większej przez mniejszą. Wariancja mniejsza, mianownik tego ilorazu, to wariancja zmiennej Y nie wyjaśniona ani przez wpływ czynnika A. ani przez wpływ czynnika B. ani przez wpływ interakcji obu czynników. Stanowi ją naturalny rozrzut pomiarów wokół średniej w każdej z podpróbek próby losowej (czyli w komórkach). To. co wstawia się do mianownika testu F, jest uśrednioną wariancją z wariancji tych podpróbek.

Przez analogię, w przypadku wielowymiarowym takie ważone wariancje tworzy się równocześnie dla /> zmiennych, według zasady obowiązującej dla przypadku jednowymiarowego. Mianowicie rozrzut wyników w każdej komórce jest zależny nie tylko od wariancji

wyliczonej dla każdej ze zmiennych y_l% y₂.....y_p oddzielnie, ale także od kowariancji

między tymi zmiennymi. Tak więc dla każdej komórki mamy jedną macierz kowariancji. Macierz ważoną z wielu podprób tworzy się przez „uśrednienie” tych wszystkich macierzy. W przypadku jednowymiarowym mieliśmy średnią wariancję, teraz jest to średnia macierz kowariancji S. Macierz S „częściowa”, tzn. jeszcze nie podzielona przez stopnie swobody oznaczana jest tradycyjnie przez G.

Podobnie jest z licznikiem testu F. Postać licznika w analizie jednowymiarowej zależy od tego, która hipoteza zerowa jest weryfikowana. Wartość licznika jest także wariancją i ma interpretację wariancji wyjaśnionej: albo przez wpływ czynnika A na Y_% wtedy wariancja wyznaczona jest przez rozrzut średnich z poziomu tego czynnika wokół średniej globalnej (z całej próby), albo przez wpływ czynnika B na Y. wtedy wariancja wyznaczona jest przez rozrzut średnich z poziomu czynnika B wokół średniej globalnej, albo przez wpływ interakcji, wtedy wariancja w liczniku wyznaczona jest przez rozrzut interakcji. Konstruując identyczne rozrzuty średnich z poziomów czynnika przy p zmiennych zamiast jednej liczby (wariancji wyjaśnionej) otrzymuje się macierz, której elementy zależne są wyłącznie od tych rozrzutów. Macierz tę w formie nieco wcześniejszej, tzn. nie podzieloną przez liczbę stopni swobody oznacza się literą H.

Wprowadźmy zatem teraz opisane nowe macierze, a mianowicie

204