2 (7)

Rozdział 4

' liii i jnmiii,

■PUglto" war;. i

(1)

Ciągłość

Pojęcie funkcji i związana z rum terminologia zostały wprowadzone w definicjach 2.1 £ Chociaż (w następnych rozdziałach) będziemy zajmowali się funkcjami rzeczywaą i zespolonymi (tj. funkcjami, których wartości są liczbami rzeczywistymi lub zespolony rozpatrywali będziemy także funkcje wektorowe (tj. funkcje o wartościach z R^k) i fiu

0    wartościach z dowolnej przestrzeni metrycznej. Twierdzenia, których będziemy dow w ogólnych warunkach, nie staną się łatwiejsze, jeśli ograniczymy się np. do funkcji rzeczjnfl stych, a będą łatwiejsze i prostsze, gdy odrzucimy niepotrzebne założenia i sformułujemy!

1    udowodnimy rozsądnie uogólnione.

Nasze funkcje będą określone w przestrzeniach metrycznych, które zostaną bliżej okrcd lone w poszczególnych przykładach.

Granica funkcji

4.1. Definicja. Niech X i Y będą przestrzeniami metrycznymi. Niech E<=X,f niech będzie odwzorowaniem EwY,ap - punktem skupienia zbioru £. Będziemy pisali f{x)-*q dlax-»p lub

lim/(x) f> q,

jeśli istnieje punkt q e Y o następujących własnościach: dla dowolnego e > 0 istnieje 6 > 0 | taka, że

(2)    d_Y(f{x),q)<e

dla wszystkich punktów x e E, dla których

(3)    m    0 < d_x(x, p) < S.

Symbole d_x i d_Y określają odpowiednio odległości w przestrzeniach X i Y.

Jeśli X (lub Y) zastąpić prostą rzeczywistą, płaszczyzną zespoloną albo pewną przestrze-| nią euklidesową R\ to odległość d_x,d_Y należy oczywiście zastąpić wartościami bezwzględnymi lub odpowiednimi formami (patrz 2.16).

Należy zauważyć, że punkt p s X, ale p nie musi należeć do zbioru E (w poprzedniej

^BU.Fnypaś (BuebędzŚ2E:

4. Proc łjtfłp,

^Bmaoiie, załóżi > 0 znajd pi < d. Wy HpKfa aie zachodzi t

HfenSEK. Jeśli f i ^P^nka to z twier

F 41 DEFINICJA.N Brnamy funkcję, kt zdefiniujemy różni* ■iifcEnłowany tylko dla ■bśdemu punktowi x: jłmc i piszemy / = c..

* € £. to czasem piszą [ Podobnie, jeśli fig

a jeśli A jest liczbą rzec

4.4. Twierdzenie. fienia zbioru E,afigs

Wówczas

a) lim(f+g)(x) = .