38115 img372 (3)

']^L = m-2x°_l'ⁱx°2^S = 0.

oA

Warunkiem wystarczającym do istnienia minimum jest, aby wyznacznik macierzy utworzonej z pochodnych cząstkowych drugiego rzędu był dodatni oraz aby wszystkie jej minory główne były dodatnie, czyli aby

8²L dx²

było dodatnio określone.

Rozwiązaniem powyższgo układu równań są optymalne nakłady czynników produkcji: x\ = 30, x\ = 120, C(x\,x'₂) = 250, a optymalna struktura nakładów jest równa

30 _ 1

x*2 ~ 120 ~~ T

Alternatywą dla zagadnienia minimalizacji kosztów wytworzenia zadanej wielkości produkcji jest problem maksymalizacji produkcji y przy ustalonych z góry środkach finansowych C₀ na zakup środków produkcji.

Wówczas maksymalizujemy funkcję

y=f(x),

przy ograniczeniu

C{x) ~ Co-

Funkcja Lagrange’a dla tego przypadku ma postać:

L=f(x) + A^r[C₀-C(x)].

W tablicy 179 przedstawiono zbiorczo zasady optymalizacji, gdy warunki ograniczające mają postać równości.

Tablica 179

Funkcja kryterium zysku lub kosztu	P = F(x)
Ograniczenia równościowe	g(x) = a
Lagrangian	L = F(x) + A^T[a—g (jc)]
Warunki konieczne	8L 8Z(x) 8g ^T(x) , Q 8x 8x 8x 8L — = a-g(x) = 0
Warunki wystarczające dla maksimum dla minimum		8^2L 8x^28^2L 8x^1	jest ujemnie określona, jest dodatnio określona

Czytelnik zechce sprawdzić, iż przy przyjętej funkcji produkcji i podanej funkcji kosztów, maksymalizację produkcji przy ograniczonych środkach finansowych C₀ jedn. p. gwarantują optymalne nakłady xj" = 12,5, x“ = 50, y = /(*' i\**2*) = 50.

Istotnym problemem firmy jest maksymalizacja zysku z uwzględnieniem ograniczeń na dostępne czynniki produkcji (limit środków produkcji, ograniczenia finansowe itp.). Opisana sytuacja decyzyjna przybiera postać klasycznego zadania programowania nieliniowego z ograniczeniami nierównościowy-mi, a procedurę optymalizacyjną przedstawiono w tabl. 180.

Tablica 180

Funkcja celu	P = P(x)
Ograniczenia	C(x) « b x ^ 0
Lagrangian	L = F(x) + k^Tib~C(x)\
Warunki konieczne Warunki Kuhna-Tuckera	dL 8F(x) 8C ^T(x) , „ — = ——---— AsęO, dx 8x 8x dL (8F(x) 8C^T(x) \ 8x \ 8x dx ) 8L — = b—C(x) > 0, OA x ^ 0, A 0

Przykład 38. Wyznaczyć optymalny wektor czynników wejściowych maksymalizujący zysk firmy, przyjmując że produkcja jest opisana funkcją kwadratową z dwoma czynnikami wejściowymi o ogólnej postaci:

y - f{x) = a^Tx + x^TBx,

gdzie:

	2"		r-i ii
a —	3	, B =	-1 m i _1

Koszty dane są funkcją C(x) = p^Tx, gdzie p jest wektorem kosztów (cen) czynników produkcji:

Niech ponadto c będzie ceną produkowanych wyrobów. Wtedy przychód firmy

201